1/29.3.3三重积分在柱面坐标系下的计算设为空间内一点，并设点在面上的投影P的极坐标为，，则这样的三个数就叫做点的柱面坐标（图9-14），这里规定的变化范围为：由图可知，直角坐标与柱面坐标的关系为柱面坐标系中的体积元素为图9-14在计算三重积分时，如果对变量z先积分，那么应将区域投影到xoy面上，得平面区域D，用与直角坐标系中的累次积分法一样定出对z积分的上、下限，再将得到的在区域D上的二重积分用极坐标系中的累次积分法计算，即得三重积分在柱面坐标系下的累次积分法。因此，在柱面坐标系中计算三重积分的要点是：（1）画出积分区域及它在xoy平面上的投影区域D;（2）把三重积分的被积表达式换成如下形式（3）变量z的上、下限定法同三重积分在空间直角坐标系中累次积分法对z的定限法，变量的上、下限定法同二重积分在极坐标系中的定限法。2/2例1：利用柱面坐标计算三重积分，其中是由曲面与平面所围成的闭区域。解：画出积分区域及它在xoy平面上的投影区域D（如图）把闭域投影到面上，得半径为2的圆形闭区域。在内任取一点，过此点作平行于轴的直线，此直线通过曲面穿入内，然后通过上半球面穿出外。因此闭区域可用不等式来表示。于是
