四边形1．如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，BC=8，60B，点M是边BC的中点，点E、F分别是边AB、CD上的两个动点（点E与点A、B不重合，点F与点C、D不重合），且120EMF．（1）求证：ME=MF；（2）试判断当点E、F分别在边AB、CD上移动时，五边形AEMFD的面积的大小是否会改变，请证明你的结论；（3）如果点E、F恰好是边AB、CD的中点，求边AD的长．1．证明：（1）过点M分别作MG⊥AB，MH⊥CD，垂足为点G、H． 点M是边BC的中点，∴BM=CM． 在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∴60BC．又 MG⊥AB，MH⊥CD，∴90BGMCHM．∴△BGM≌△CHM．得MG=MH，且30BMGCMH，即得120GMHEMF．又 ∠EMF=∠EMG+∠GMF，且∠GMH=∠GMF+∠FMH，∴∠EMG=∠FMH．于是，由90BGMCHM，MG=MH，得△EGM≌△FHM．∴ME=MF．（2）当点E、F在边AB、CD上移动时，五边形AEMFD的面积的大小不会改变． △EGM≌△FHM，∴EMGFMHSS．即得五边形五边形AEMFDAGMHDSS．（3）联结AM（在备用图中1）．当点E、F恰好是边AB、CD的中点，且AB=CD，得BE=CF．又 ME=MF，BM=CM，∴△BEM≌△CFM．∴∠BME=∠CMF． 120EMF，∴1(180)302BMEEMF．于是，由60B，得90BEM． 点E是边AB的中点，∴ME是边AB的垂直平分线．∴MA=MB．于是，由60B，得△ABM是等边三角形．∴60AMB．即得∠AMB=∠C．ABCDMEF（第1题图）ABCDMEF（备用图）∴AM//CD．又 AD//MC，∴四边形AMCD是平行四边形．∴AD=CM．于是，由BC=8，BM=CM，得CM=4．即得AD=4．2.已知：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y．（1）求证：△APQ是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果PD⊥AQ，求BP的值．解：（1）联结AC．在菱形ABCD中， AB=BC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB，∠BAC=∠BCA=60°． ∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠CAQ． AB∥CD，∠B=60°，∴∠BCD=120°．∴∠ACQ=∠B=60°．∴△ABP≌△ACQ．∴AP=AQ．∴△APQ是等边三角形．（2）由△APQ是等边三角形，得AP=PQ=y．作AH⊥BC于点H，由AB=4，BH=2，∠B=60°，得AH=32．∴12)2(2xy，即1642xxy．定义域为x≥0．（3）（i）当点P在边BC上时， PD⊥AQ，AP=PQ，∴PD垂直平分AQ．∴AD=DQ．∴CQ=0．又 BP=CQ，∴BP=0．（ii）当点P在边BC的延长线上时，同理可得BP=8．综上所述，BP=0或BP=8．ABCPQD3．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分BAC，交BD于点F．（1）求证：12EFACAB；（2）点1C从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点1A从点A出发，沿着BA的延长线运动，点1C与1A的运动速度相同，当动点1C停止运动时，另一动点1A也随之停止运动．如图2，11AF平分11BAC，交BD于点1F，过点1F作1111FEAC，垂足为1E，请猜想11EF，1112AC与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当113AE，112CE时，求BD的长．解：过F作AB的垂线，垂足为G，则FE＝FG＝GB；ACAEAG21易知：ABACEF21在第二小题中，我们采用第一小题的方法，过1F向AB、BC作垂线，垂足分别是G和H，连接11CF。则可以证明1F是△11BCA的角平分线的交点。也可以证明四边形1GBHF是正方形，ABBCBABGBHHCGACAHCGA211111111ABCAFEABFECA111111112122第三小题中，我们设xFE11，则有227272511,625)2()3(2122BDABxxxx（舍）图1ABCDEF图2ABCD1E1F1A1C（第3题图）214545GFEBDACF1A1E1C1HGBDAC4．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，∠C=45o，AB=8，BC=14，点E、F分别在边AB、CD上，EF//AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF=90o，PE=PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE=x，MN=y．（1）求边AD的长；（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．解：（1）过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H． 梯形ABCD中，∠B=90o，∴DH//AB．又 AD//BC，∴四边形ABHD是矩形． ∠C=45o，∴∠CDH=45o，∴CH=DH=AB=8．∴AD=BH=BC–CH=6．（2） DH⊥EF，∠DFE=∠C=∠FDG=45o,∴FG=DG=AE=x, EG=AD=6,∴EF=6x. PE=PF，EF//BC，∴∠PFE=∠PEF=∠PMN=∠PMN，∴P...
