1OQMLSCBDA2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题一、填空题（每题10分，共80分）1.已知关于x的两个方程：230xxm⋯⋯①，20xxm⋯⋯②，其中0m.若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数m的值是_______2.已知梯形ABCD中//ABCD，90,,5,13,ABCBDADBCBD则梯形ABCD的面积为______。3.从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于等于2的概率为________.4.将8个数，－7、－5、－3、－2、2、4、6、13排列为,,,,,,,abcdefgh,使得22()()abcdefgh的值最小，则这个最小值为________.5.已知正方形ABCD边长为4，,EF分别在,ABBC上，3,2,AEBF,AFDE交于G，则四边形DGFC的面积为。6.在等腰直角三角形ABC中，90,ACBPABC是内一点，使得11,7,6PAPBPC，则AC边长为____________。7.有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，比赛结束后发现每位选手得分各不同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45，则第二名选手得分是_______。8.已知abcd、、、都是素数（可以相同），并且abcd是35个连续正整数之和，则abcd的最小值为_________.二、解答题（第9、10题每题15分，第11、12题每题20分，共70分）9.如图，矩形ABCD的对角线交于O，已知60,DACDAC的平分线与DC交于S，直线,OSAD相交于L,直线BLAC与交于M。求证：//SMLC.2＊9、已知ABCD是平行四边形，⊙ABD交AC于点E，点P在BD上，且∠DCA＝∠PCB。求证：∠DEA＝∠PEB。10.求所有正整数组,!!!!!!.abcdefabcdef使得11.①求证：存在整数22,,42022,xyxxyy满足②是否存在整数22,,42011xyxxyy满足？请证明你的结论。12、（1）已知正整数)ba(n,b,a满足ab1n2，证明：3n4ba①；（2）确定所有的正整数n，使得式①中的等号成立。12.整数1n，它的所有不同的素因子为12,,,,1kpppikL对于每个，存在正整数ia，使得1iiaaiipnp。记1212()kaaakpnpppL，例如62(100)2589p.①找出一个正整数n，使得()pnn；②证明：存在无穷多个正整数n，使得11().10pnnPEDCAB32012年上海市初中数学竞赛（新知杯）一、填空题（每小题10分）1、△ABC底边BC上的高为3，直线21,ll平行于BC且将△ABC的面积等分为三部分，那么21,ll间的距离为_____________。2、设)(np为两个骰子项面上的数字之和为n的概率，则)5()4()3()2()1(ppppp__。3、在平面直角坐标系中点A（0,1），B在直线xy3上，求所有的B点的坐标，使得OAB为等腰三角形。4、矩形ABCD中，AD＝5，AB＝9，AE＝CG＝3，DF＝BH＝4，P为矩形ABCD内一点且15AEPHS，那么PFCDS________。5、已知9324mm为素数，那么满足要求的m有______个。6、线段AB＝10，P到AB的距离为3，已知PBPA最小，则PBPA______。7、梯形ABCD的上底、高、下底为从小到大的三个连续正整数且且这三个正整数使axxx2330（a为常数）的值为同样顺序的三个连续正整数，那么梯形ABCD的面积为______。8、把所有被4除余2或3的正整数从小到大排成一行，nS为前n个数之和，求][][21SS⋯][2012S______。二、解答题：9、（本题15分）正方形ABCD内一点P，过P点作PN⊥BC，PM⊥CD垂足为M、N，连结AP，若AP⊥MN，试证明：AP＝MN或者AP⊥BD。10、（本题15分）解方程组ENMPDCABH411、（本题20分）设2)(nannf，其中n为正整数，a为正实数。（1）若5)(nf，求a的取值范围；（2）求证：1)(anf。12、（本题20分）证明：在任意2013个互不相同的实数中，总存在两个数yx,满足：)1)(1(1201222yxxyyx。＊13、如图1，以锐角△ABC的边AB、AC为直径为边向形外分别作正方形，其中心分别为11B,C，以11BC为边作正方形DEBC11，使得点A、D分别位于11BC直线的两侧，证明：正方形DEBC11的中心在直线BC上。图1TDEB1C1ABC5三、相似三角形的判定与性质16、(安徽省竞赛题)如图16，设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连结AP，它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：CNBMPCPB。17、如图16，AB是⊙O的直径，ABd，过A点作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC＝AB，连结OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，求AE的长。18、如图17，△ABC和△BCD都是正三角形，过D作直线和直线AB、AC分别交M、N，求直线BN与CM所夹锐角的大小。19、如图18，已知D是等腰直角△ABC的...
