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专题二立体几何-线面垂直面面垂直VIP免费

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专题二:立体几何---线面垂直、面面垂直一、知识点(1)线面垂直性质定理(2)线面垂直判定定理(3)面面垂直性质定理(2)面面垂直判定定理线面垂直的证明中的找线技巧通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直1.如图1,在正方体1111ABCDABCD中,M为1CC的中点,AC交BD于点O,求证:1AO平面MBD.证明:连结MO,1AM, DB⊥1AA,DB⊥AC,1AAACAI,∴DB⊥平面11AACC,而1AO平面11AACC∴DB⊥1AO.设正方体棱长为a,则22132AOa,2234MOa.在Rt△11ACM中,22194AMa. 22211AOMOAM,∴1AOOM. OM∩DB=O,∴1AO⊥平面MBD.评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明.利用面面垂直寻求线面垂直2.如图2,P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC.求证:BC⊥平面PAC.证明:在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D.因为平面PAC⊥平面PBC,且两平面交于PC,AD平面PAC,且AD⊥PC,由面面垂直的性质,得AD⊥平面PBC.又 BC平面PBC,∴AD⊥BC. PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC. AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直线面垂直线线垂直.一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明.3.如图1所示,ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SBSCSD,,于EFG,,.求证:AESB,AGSD.证明: SA平面ABCD,∴SABC. ABBC,∴BC平面SAB.又 AE平面SAB,∴BCAE. SC平面AEFG,∴SCAE.∴AE平面SBC.∴AESB.同理可证AGSD.评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化.4.如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连结CF,DF. ACBC,∴CFAB. ADBD,∴DFAB.又CFDFFI,∴AB平面CDF. CD平面CDF,∴CDAB.又CDBE,BEABBI,∴CD平面ABE,CDAH. AHCD,AHBE,CDBEEI,∴AH平面BCD.评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时,又转化为证明线面垂直.如此反复,直到证得结论.5.如图3,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA平面ABC.若AE⊥PC,E为垂足,F是PB上任意一点,求证:平面AEF⊥平面PBC.证明: AB是圆O的直径,∴ACBC. PA平面ABC,BC平面ABC,∴PABC.∴BC平面APC. BC平面PBC,∴平面APC⊥平面PBC. AE⊥PC,平面APC∩平面PBC=PC,∴AE⊥平面PBC. AE平面AEF,∴平面AEF⊥平面PBC.评注:证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系.10.如图,在空间四边形SABC中,SA平面ABC,ABC=90,ANSB于N,AMSC于M。求证:①ANBC;②SC平面ANM分析:①要证ANBC,转证,BC平面SAB。②要证SC平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SCAM,SCAN。要证SCAN,转证AN平面SBC,就可以了。证明:① SA平面ABC∴SABC又 BCAB,且ABSA=A∴BC平面SAB AN平面SAB∴ANBC② ANBC,ANSB,且SBBC=B∴AN平面SBC SCC平面SBC∴ANSC又 AMSC,且AMAN=A∴SC平面ANM[例2]如图9—40,在三棱锥S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.图9—40(1)求证:AB⊥BC;(1)【证明】作AH⊥SB于H, 平面SAB⊥平面SBC.平面SAB∩平面SBC=SB,∴AH⊥平面SBC,又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC,而SA在平面SBC上的射影为SB,∴BC⊥SB,又SA∩SB=S,∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.[例3]如图9—41,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD=a,M、N分别是AB...

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