专题二立体几何-线面垂直面面垂直VIP专享VIP免费

专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直一、知识点（1）线面垂直性质定理（2）线面垂直判定定理（3）面面垂直性质定理（2）面面垂直判定定理线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1．如图1，在正方体1111ABCDABCD中，M为1CC的中点，AC交BD于点O，求证：1AO平面MBD．证明：连结MO，1AM， DB⊥1AA，DB⊥AC，1AAACAI，∴DB⊥平面11AACC，而1AO平面11AACC∴DB⊥1AO．设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa．在Rt△11ACM中，22194AMa． 22211AOMOAM，∴1AOOM． OM∩DB=O，∴1AO⊥平面MBD．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．利用面面垂直寻求线面垂直2．如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又 BC平面PBC，∴AD⊥BC． PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC． AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．3．如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SBSCSD，，于EFG，，．求证：AESB，AGSD．证明： SA平面ABCD，∴SABC． ABBC，∴BC平面SAB．又 AE平面SAB，∴BCAE． SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ACBC，∴CFAB． ADBD，∴DFAB．又CFDFFI，∴AB平面CDF． CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABBI，∴CD平面ABE，CDAH． AHCD，AHBE，CDBEEI，∴AH平面BCD．评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．5．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．证明： AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC． PA平面ABC，BC平面ABC，∴PABC．∴BC平面APC． BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC． AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC． AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．10．如图,在空间四边形SABC中,SA平面ABC,ABC=90,ANSB于N,AMSC于M。求证:①ANBC;②SC平面ANM分析:①要证ANBC,转证,BC平面SAB。②要证SC平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SCAM,SCAN。要证SCAN,转证AN平面SBC,就可以了。证明:① SA平面ABC∴SABC又 BCAB,且ABSA=A∴BC平面SAB AN平面SAB∴ANBC② ANBC,ANSB,且SBBC=B∴AN平面SBC SCC平面SBC∴ANSC又 AMSC,且AMAN=A∴SC平面ANM［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．图9—40（1）求证：AB⊥BC；（1）【证明】作AH⊥SB于H， 平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB...