专题圆锥曲线的范围问题VIP免费

1/406高考复习圆锥曲线的范围问题〖考题特点〗圆锥曲线的范围问题是高考命题的热点，此类问题综合性强，体现解析几何与函数、不等式、方程、三角等知识交叉综合的特点，且确定参变量取值范围的不等量关系较为隐蔽。下面介绍几种常见的寻找或挖掘不等量关系的方法：〖典型问题分析〗问题引入：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2，如果曲线C上存在点P，使120PFPF，求椭圆离心率e的变化范围解一：根据圆锥曲线的变化范围，建立含参数不等式：令Q(x0,y0)(y0≠0)⋯⋯可得x0=2c2-a2e2 |x0|＜a∴0≤2e2-a2e2＜a求得22≤e＜1解二：选参数点利用弦函数有界性建立不等式，设由垂直关系建立e与sin2θ关系得sin2θ=1e2-1∴0＜1e2-1≤1解三：利用圆锥曲线的定义与几何性质|PF1|=r1，|PF2|=r2r12+r22=4c2r1+r2=2ar1，r2是方程t2-2at+a2-c2=0两实根r1+r2=2ar1r2=2(a2-c2)∴Δ=4a2-8(a2-c2)≥0求得或：用基本不等式r12+r222≥（r1+r22）2构造不等关系。解三：利用曲线交点特征（方程组解有实数解）建立不等关系由x2+y2=4c2有实数解得(b2-a2)x2=a2b2-a2c2(a＞b)有实数解b2x2+a2y2=a2b2∴a2b2-a2c2≤0求得解四：几何法可知∠F1PF2φ为最大角φ且须有∠F1PF2=φ≥π2∴π2＞φ2≥φ4＞0∴e=ca=sinφ2≥sinφ4=π2∴22≤e＜1圆锥曲线离心率e=ca是一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状和类型的变化，同时因它是圆锥曲线统一定义中的三要素（定点、定直线、定比）之一，因此圆锥曲线的某些性质及其变化可通过e的变化来遥控，从而使其成为以圆锥曲线为载体，集函数、方程、不等式于一体的问题。从此题的多向思考解答可以体会寻找不等关系的常见方法，在此还可以总结如下：（1）、运用题设中已有的不等关系构建含参变量的不等关系或函数关系（如05全国Ⅱ21题）（2）根据圆锥曲线的交点特征即方程有实数解建立不等式（如02全国21题及上例）。（从直线与圆锥曲线位置出发，利用一元二次方程实根存在条件如04全国Ⅰ23题）。（3）根据圆锥曲线的变化范围，建立不等关系（如上例）（4）借助定义和几何直观挖掘不等关系。（上例）一、从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。【例1】(05全国卷III)设11Axy，，22Bxy，两点在抛物线22yx上，l是AB的垂直平分线。（Ⅰ）当且仅当12xx取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。解：（Ⅰ）FlFAFBAB、两点到抛物线的准线的距离相等， 抛物线的准线是x轴的平行线，1200yy，，依题意12yy，不同时为0∴上述条件等价于22121212120yyxxxxxx 12xx∴上述条件等价于120xx即当且仅当120xx时，l经过抛物线的焦点F。（Ⅱ）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为2yxb；过点AB、的直线方程可写为12yxm，所以12xx、满足方程21202xxm得1214xxAB、为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式1804m＞，即132m＞设AB的中点N的坐标为00xy，，则0121128xxx，0011216yxmm由Nl，得11164mb，于是551916163232bm即得l在y轴上截距的取值范围为932，【例2】已知椭圆的一个顶点为A（0，-1）焦点在x轴上，且右焦点到直线x-y+22=0的距离为3，若在y轴上截距为b的直线L与该椭圆交于不同两点M，N。当|AM|=|AN|时，试求b2/4的取值范围。解：易得椭圆方程为1322yx，据条件知L的斜率存在，设其方程为y=kx+b代入椭圆方程消去y得：（1+3k2）x2+6bkx+3（b2-1）=0，① 有两个交点，所以=12(3k2-b2+1)>0即3k2-b2+1>0②设M(x1,y1),N(x2,y2)直线MN中点为P(x0,y0),所以x0=2213132kkbxxy0=kx0+b=231kb,又|AM|=|AN|MNAP,所以KAP=-)0(1kk,即kKbbk131323k2+1=2b将此式代入②得0