第1页专题训练(四)与平面直角坐标系有关的六类几何问题?类型一距离和最短问题1．如图4－ZT－1，在平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的一个动点，A(1，0)，B(2，0)是x轴上的两个点，求PA＋PB的最小值．图4－ZT－1?类型二判断三角形的形状问题2．在平面直角坐标系中：(1)已知点P(2a－6，a＋4)在y轴上，求点P的坐标；(2)已知A(－3，m－1)，B(n＋1，4)两点，若AB∥x轴，点B在第一象限，求m的值，并确定n的取值范围；(3)在(1)(2)的条件下，如果线段AB的长度是6，试判断以P，A，B为顶点的三角形的形状，并说明理由．?类型三等腰三角形问题3．如图4－ZT－2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，3)．点Q为y轴上的一点，若△ABQ为等腰三角形，求点Q的坐标．图4－ZT－2?类型四面积问题4．如图4－ZT－3，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，C(b，c)三点，其中a，b，c满足关系式|a－2|＋(b－3)2＝0，(c－4)2≤0.(1)求a，b，c的值．(2)如果在第二象限内有一点P(m，12)，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积．(3)在(2)的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－35．如图4－ZT－4，在平面直角坐标系中有A(a，0)，B(b，0)，C(1，3)三点，且a，b满足|3b＋a－2|＋b－a－6＝0.(1)求点A，B的坐标．(2)在x轴负半轴上有一点D，使S△DOC＝13S△ABC，求点D的坐标．(3)在坐标轴上是否还存在这样的点D，使S△DOC＝13S△ABC仍然成立？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－4?类型五折叠问题6．如图4－ZT－5，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为(8，4)，将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E.(1)求点E的坐标．(2)M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，是否存在点M，N，使得AM＋MN的值最小？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．图4－ZT－5?类型六规律探究问题7．2019·南宁如图4－ZT－6，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的第2页坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至①中点P1的位置，第二次旋转至②中点P2的位置，⋯，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P2019的坐标为________．图4－ZT－68．如图4－ZT－7，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，记为点P1，第2次碰到长方形的边时，记为点P2，⋯，第n次碰到长方形的边时，记为点Pn，则点P3的坐标是________；点P2019的坐标是________．图4－ZT－79．如图4－ZT－8，小明第1次向东走1米到点(1，0)的位置，第2次向北走2米到点(1，2)的位置，第3次向西走3米到点(－2，2)的位置，第4次向南走4米到点(－2，－2)的位置，第5次向东走5米到点(3，－2)的位置，⋯如此下去，求小明第1001次走后到达位置的坐标．图4－ZT－8详解详析1．解：如图，作点A关于直线y＝x的对称点A′，连接A′B，交直线y＝x于点P，此时PA＋PB的值最小，由题意可得出OA′＝1，BO＝2，PA′＝PA，∴PA＋PB＝A′B＝12＋22＝5.2．解：(1)根据题意知，2a－6＝0，解得a＝3，∴点P的坐标为(0，7)．(2) AB∥x轴，∴m－1＝4，解得m＝5. 点B在第一象限，∴n＋1＞0且n＋1≠－3，解得n＞－1.(3)△PAB是等腰直角三角形．理由：由(2)知点A的坐标为(－3，4)． AB＝6，且点B在第一象限，∴点B的坐标为(3，4)．由点P的坐标为(0，7)可得PA2＝(－3－0)2＋(4－7)2＝18，PB2＝(3－0)2＋(4－7)2＝18. AB2＝36，∴PA2＋PB2＝AB2，且PA＝PB，∴△PAB是等腰直角三角形．3．解：如图．在Rt△ABO中，AB＝OB2＋OA2＝45.当BA＝BQ时，点Q的坐标为(0，3＋45)或(0，3－45)；当AB＝AQ时，点Q的坐标为(0，－3)；当BQ＝AQ时，设AQ＝BQ＝a，在Rt△AOQ中， OA2＋OQ2＝AQ2，∴(a－3)2＋62＝a2，解得a＝152，∴OQ＝BQ－OB＝92，第3页∴点Q的坐标为(0，－92)．综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0，3＋45)或(0，3－45)或(0，－3)或(0，－92)．4．...
