选修4-4坐标系与参数方程--真题再现VIP专享VIP免费

◆考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．◆考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．选修4-4坐标系与参数方程1．(2010·湖南)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－t，y＝2＋t(t为参数)所表示的图形分别是()．A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线解析由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x，即x－122＋y2＝14.它表示以12，0为圆心，以12为半径的圆．由x＝－1－t得t＝－1－x，代入y＝2＋t中，得y＝1－x表示直线．答案D直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(?，?)，则x＝?cos?，y＝?sin?，?2＝x2＋y2，tan?＝yxx≠0.在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．直线、圆的极坐标方程(1)直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置直线的极坐标方程①直线过极点：θ＝α；②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；③直线过点Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.(2)几个特殊位置圆的极坐标方程①圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；②圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；③圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsinθ.参数方程(1)直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．(2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．②椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．极坐标与直角坐标的互化高考对该部分内容的考查以极坐标参数方程化为普通方程为主，注重基本运算，题型为填空题，难度不大．【例题1】►在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．解将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a|32＋42＝1，解得a＝2或a＝－8.故a的值为－8或2.在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标不唯一．极坐标和直角坐标互化关系式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0是解决该类问题的关键．【变式1】►(2010·辽宁)已知P为半圆C：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为π3.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．解：(1)由已知，M点的极角为π3，且M点的极径等于π3，故点M的极坐标为π3，π3.(2)点M的直角坐标为π6，3π6，A(1,0)，故直线AM的参数方程为x＝1＋π6－1t，y＝3π6t(t为参数)．曲线的极坐标方程的应用高考对该部分内容的考查多以填空题、解答题为主，考查简单的极坐标系中直线和圆的方程，或者求解极坐标中曲线的某个特征值．【例题2】►(2011·课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)，M是C1上的动点，点P满足OP→＝2OM→，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2，由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα，即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα(α为参数)．(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝...