22.1.5如何求二次函数的解析式求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式(1)关键是求出待定系数____________的值．a，b，c(2)设解析式的三种形式：①一般式：________________________________，当已知抛物线不在同一水平线上三个点时，用一般式比较简便；②顶点式：________________________________，当已知抛物线的顶点时，用顶点式较方便；③交点式(两根式)：________________________，当已知抛物线与x轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，用交点式较方便．y＝ax2＋bx＋cy＝a(x－h)2＋ky＝a(x－x1)(x－x2)一、将满足条件的点坐标直接代入已知表达式•例1.已知点A（-1，-2），B（3，0）在抛物线y=x2+bx+c图像上，求其解析式.二、依据函数图像性质求解析式•例2已知抛物线y=x2+(m-2)x+3的对称轴为y轴，求其解析式.三、依据点坐标的的特点巧设表达式确定二次函数关系式【例题】求满足下列条件的二次函数的关系式：(1)图象经过点A(0,3)，B(1,3)，C(－1,1)；(2)图象经过点A(－1,0)，B(3,0)，函数有最小值为－8；(3)图象顶点坐标为(1，－6)，且经过点(2，－8)．思路点拨：(1)已知三点，选用一般式．(2)可用顶点式，也可用交点式．(3)选用顶点式．解：(1)设所求函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，∵图象经过点A(0,3)，B(1,3)，C(－1,1)，∴函数关系式为y＝－x2＋x＋3.(2)方法一：∵图象经过点A(－1,0)，B(3,0)，则对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－8)．∴可设关系式为y＝a(x－1)2－8.∴c＝3，a＋b＋c＝3，a－b＋c＝1.解得a＝－1，b＝1，c＝3.4a·－3a－－2a2将点A(－1,0)代入，得a＝2.∴函数关系式为y＝2(x－1)2－8＝2x2－4x－6.方法二：由点A(－1,0)，B(3,0)，可设函数关系式为y＝a(x－3)(x＋1)．整理函数，得y＝ax2－2ax－3a.∴此函数图象的最小值为－8.∴4a＝－8.∴a＝2.∴函数关系式为y＝2(x－3)(x＋1)．即y＝2x2－4x－6.•例5.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．•例6已知二次函数经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2），求其解析式。总结：用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：•1．已知抛物线过三点，可设•2．已知抛物线顶点坐标及一点，可设•3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标）•可设．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）四、巩固练习•一、填空•1．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．•2．抛物线的形状、开口方向都抛物线y＝－x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为______________．•3．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线•y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．•二、解答题•1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．•5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：(1)对称轴方程____________；(2)函数解析式____________；•(3)当x______时，y随x增大而减小；•(4)由图象回答：当y＞0时，x的取值范围______；•当y＝0时，x＝______；•当y＜0时，x的取值范围______．三、依据函数图像性质巧设表达式来确定解析式•例3.已知抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为（0,2），且经过点（1,3），求其解析式.•例4已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
