初高中衔接教材二次函数第四讲二次函数二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础.在初中，大家已经知道二次函数在自变量取任意实数时的最值情况.本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题.一、二次函数的图像和性质（1）当时，函数图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线.在对称轴的左侧，随着的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而增大；当时，函数取最小值．（2）当时，函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线.在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小；当时，函数取最大值y＝．今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图像，利用数形结合的思想方法解决问题．【例1】请您求出二次函数的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当取何值时，随的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象．解：∵.∴函数图象的开口向下，对称轴方程x＝－1，顶点坐标为(－1，4)，当时，.在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小(如图).二、二次函数的三种表示方式1．一般式：.2．顶点式：，顶点坐标是．-1-xyOx＝－AxyOx＝－Ax＝－1初高中衔接教材二次函数3．交点式：，其中，是二次函数图象与轴交点的横坐标．【例2】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．解：设该二次函数为．由条件得.所求的二次函数为．【例3】已知二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线上，并且图象经过点（3，－1），求此二次函数的解析式．解：由条件易知顶点坐标是（1，2），设该二次函数的解析式为，∵图像经过点（3，－1），∴．∴二次函数的解析式为，即．【例4】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．解：法一∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为，即.顶点的纵坐标为，∵二次函数图象的顶点到轴的距离为2，∴．∴二次函数的表达式为或．解：法二∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线．又顶点到轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2或－2．∴可设二次函数为或.∵函数图象过点(1，0)，∴．∴二次函数的表达式为或．说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？三、二次函数的最值问题【例5】当时，求函数的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当时，，当时，．-2-初高中衔接教材二次函数【例6】当时，求函数的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当时，，当时，．由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：-3-
