导数的综合应用(主要含优化问题)VIP免费

•数学建模教学设计•（导数的综合应用专题）•郭凌教学目标：1、掌握利用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤。2、掌握导数与不等式几何等综合问题的解题方法。教学重点：利用导数解决生活中的优化问题可归结为求函数的最值问题。教学难点：如何利用导数建立数学模型()()()()2)113(其解题的程序：读题文字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答注意事项：函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量间的关系转化成函数关系式，并确定自变量的取值范围；问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合问题的实际意义；在函数定义域．利用导数解决生活中的优化问内只有一个极值，则该极值就是题可归结为求函数的最值问题所求的最大小值．12——————32求参数的取值范围．多数给出单调性，利用导数研究函数单调性的逆向思维问题，灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法，建立关于字母参数的不．近几年高等关系．用导数方法证明不等式．其步骤一般是：构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论．与几何图形相关的最值问题．根据几何知识建考中和导立函数关数有关的综合题主要有以系，然后用导数方法下几类求最值．1.如图所示，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是()【解析】由题意，绕点O匀速旋转时，前部分随着t的增加，S越来越快，反映在图上是曲线斜率越来越大；后部分，增长缓慢，曲线斜率减少，故选D.2.(2011·北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝800x＋x8(x>0)，令y′＝18－800x2＝0⇒x＝80，当x∈(0,80)时，y′<0，函数单调递减；当x∈(80，＋∞)时，y′>0，函数单调递增，且在定义域内只有一个极小值点，所以ymin＝y极小值＝f(80)．3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(吨/元)之间的函数关系为P＝24200－15x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x元，则该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是315万元．【解析】设每月生产x吨产品，利润为y元，则y＝Px－R＝(24200－15x2)·x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000.令y′＝－35x2＋24000＝0，得x＝200.所以当每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润是315万元．4.将长为52cm的铁丝剪成2段，各围成一个长宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为78cm2.【解析】设剪成2段中其中一段为xcm，另一段为(52－x)cm，依题意知：S＝x6·2x6＋352－x10·252－x10＝118x2＋350(52－x)2，S′＝19x－325(52－x)，令S′＝0，则x＝27，另一段为52－27＝25cm，此时Smin＝78cm2.一导数与方程、不等式问题【例1】(1)(2011·辽宁卷)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是____________．(2)(2011·辽宁卷)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)【解析】(1)函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数y＝2x－ex，y＝a有交点，而y′＝2－ex，易知y＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而y＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数y＝2x－ex，y＝a有交点，只要a∈(－∞，2ln2－2]．(2)设m(x)＝f(x)－2x－4，则m′(x)＝f′(x)－2>0，所以m(x)在R上为增函数，又因为m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，所以m(x)>0的解集为{x|x>－1}．即f(x)>2x＋4的解集为{x|x>－1}，选B.【点评】(1)方程根的存在性问题应等价转换为函数极值、最值和单调性问题研究，然后应用导数及数形结合确定方程根的存在性和个数．(2)不等式的证明式求解问题，应构造函数，转换为探究函数值的大小，然后应用导数讨论单调性，从而达到...