三角函数的最值问题初探VIP专享VIP免费

三角函数的最值问题初探三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历屉高考的热点之一。三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次议程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识。三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下几种：一、正弦函数y=a+bsinx(xR)的最值。例1：求y=sin6x+cos6x的最值。解：y=(sin2x+cos2)(sin4x--sin2xcos2+cos4x)=(sin2x+cos2x)2--3sin2xcos2x=1--sin22x=1--(1—cos4x)=cos4x∴当x=（kz）时，有ymax=1当x=+（kz）时，有ymin=解这类的三角函数的最大值、最小值问题的主要依据就是正弦、余弦函数的值域。求三角函数的最值时，常常通过恒等变换，使它转化为反含同名函数的各项。而恒等变换，一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式。二、形如y=asinx+bcosx及y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x(b≠0)r的最值。例2：求函数y=asinx+bcosx的最值。解：y=asinx+bcosx=sin(x+arctg)∴当x=2k+--arctg时，ymax=当x=2k+--arctg时，ymin=--例3：求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值、最大值。并写出函数y取最值时的x的集合。解： y=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2∴当sin（2x+）=--1时，有ymin=2--.当sin（2x+）=1时，有ymax=2+.此时有2x+=2k--,x=k--(kz)2x+=2k+,x=k+(kz)故函数y取最小值2--时x的集合是{x∣x=k--,kz}y取最大值2+时x的集合是{x∣x=k+,kz}从上而两例可以清晰地看出，这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin()”的形式，将异名三角比化归成同名三角比。同时，也应对自变量的取值范围要仔细地考察。三、正弦的二次函数y=asin2x+bsinx+c(xz)的最值。例4：如果∣x∣≤求函数f(x)=cos2x+sinx的最大、最小值。解：y=--sin2x+sinx+1=--（sinx--）2+设sinx=t得y=--（t--）2+由题设∣x∣≤.∴-≤sinx≤∴-≤t≤因为f(x)在[-，]是增函数，在[，]是减函数∴当x=-时，=当x=时，=上例就是利用在闭区间上求二次函数最值的方法，就可以求含三角式的二次函数的最值。但是在运用这个方法前，首先要将引用三角比之间的转换使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比视为二次函数的自变量。四、形如y=的最值例5：求函数y=的最小值（0