9.5椭圆A组专项基础训练(时间：40分钟)1．(2017·辽宁沈阳一模)△ABC的两个顶点为A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长为18，则C点的轨迹方程为()A.＋＝1(y≠0)B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)【解析】 △ABC的两顶点为A(－4，0)，B(4，0)，周长为18，∴AB＝8，BC＋AC＝10. 10＞8，∴点C到两个定点A，B的距离之和等于定值，且满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a＝10，2c＝8，∴b＝3.∴椭圆的标准方程是＋＝1(y≠0)．故选D.【答案】D2．(2017·山西忻州模拟)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，设直线PF2与椭圆交于M，N两点．若|MN|＝16，则椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【解析】因为点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，所以＝2c.整理得2e2＋e－1＝0，解得e＝.所以a＝2c，b＝c，椭圆的方程为3x2＋4y2＝12c2.直线PF2的方程为y＝(x－c)，将直线方程代入椭圆方程，整理得5x2－8cx＝0，解得x＝0或c，所以M(0，－c)，N，因此|MN|＝c＝16，所以c＝5，所以椭圆的方程为＋＝1，故选B.【答案】B3．(2017·江西南昌模拟)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上一点，且△PF1F2的周长为14，则椭圆C的离心率e为()A.B.C.D.【解析】 焦距为4，∴c＝2. P为椭圆C上一点，且△PF1F2的周长为14，∴2a＋2c＝14，∴a＝5，∴椭圆C的离心率e＝＝.故选B.【答案】B4．(2017·河南郑州一模)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点．若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为()A.B．2－C.－2D.－【解析】如图，设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m.若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.由椭圆的定义，得△ABF1的周长为4a，即4a＝2m＋m，∴m＝2(2－)a.∴|AF2|＝2a－m＝2(－1)a.在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，∴c2＝3(－1)2a2，e＝－，故选D.【答案】D5．(2016·长沙模拟)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为()A．3B．3或C.D．6或3【解析】由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF1F2的面积为×2c×＝.【答案】C6．(2017·安徽黄山一模)已知圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________．【解析】圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F(1，0)，一个顶点为A(3，0)，所以c＝1，a＝3，因此椭圆的离心率为.【答案】7．(2017·海南海口模拟)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为2，则椭圆的标准方程为________．【解析】由题意，得c＝，∴a2－b2＝c2＝3. ∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为2，∴|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2，∴|PF1|·|PF2|＝8.又 |PF1|＋|PF2|＝2a，由余弦定理得4c2＝12＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝4a2－3×8，解得a2＝9，故b2＝6，因此椭圆的方程为＋＝1.【答案】＋＝18．(2016·北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是____________．【解析】设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意知解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为＋＝1.【答案】＋＝19．(2016·天津)设椭圆＋＝1(a＞)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．【解析】(1)设F(c，0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2，又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4，所以，椭圆的方程为＋＝1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2...
