第二章推理与证明习题课——推理与证明的综合问题课后篇巩固提升1.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算和如下:abcdabcdabcdbbbbcbcbdbbdabcabcdaaaaabcdacca则d(ac)等于()A.aB.bC.cD.d解析由给出的定义可知d(ac)=dc=a.答案A2.设m是一个非负整数,m的个位数记作G(m),如G(2017)=7,G(12)=2,G(50)=0,称这样的函数为尾数函数,给出下列有关尾数函数的结论:①G(a-b)=G(a)-G(b);②∀a,b,c∈N,若a-b=10c,则有G(a)=G(b);③G(a·b·c)=G(G(a)·G(b)·G(c)),则正确结论的个数为()A.3B.2C.1D.0解析令a=12,b=8,则G(a-b)=G(a)-G(b),显然①错;令x,y,z为小于10的自然数,m,n,k为自然数,a=10m+x,b=10n+y,c=10k+z,由∀a,b,c∈N,若a-b=10c,可知x-y=0,即a与b的个位数相同,因此G(a)=G(b),②正确;显然的个位数由这三个数的个位数的积来确定的,因此③正确.答案B3.若“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第45个“整数对”是()A.(1,9)B.(9,1)C.(1,10)D.(10,1)解析因为(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),…,(n,1)共有整数对1+2+3+…+n=n(n+1)2个,当n=9时,共有45个整数对,所以第45个“整数对”是(9,1).答案B4.如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()1A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线解析如图,连接BD,BE.在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,∴BM,EN是相交直线,排除选项C、D.作EO⊥CD于点O,连接ON.作MF⊥OD于点F,连接BF. 平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB与△EON均为直角三角形.设正方形ABCD的边长为2,易知EO=√3,ON=1,MF=√32,BF=√22+94=52,则EN=√3+1=2,BM=√34+254=√7,∴BM≠EN.故选B.答案B5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是.解析若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.答案丙6.若数列{an}满足an+1=an+an+2(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”,已知数列{bn}为“凸数列”,且b1=1,b2=-2,则数列{bn}的前2016项的和为.解析由“凸数列”的定义,可写出数列的前几项:b1=1,b2=-2,b3=-3,b4=-1,b5=2,b6=3,b7=1,b8=-2,……故数列{bn}是周期为6的周期数列.又b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,故S2016=S336×6=0.答案027.对于集合{a1,a2,…,an}和常数a0,定义:ω=sin2(a1-a0)+sin2(a2-a0)+…+sin2(an-a0)n为集合{a1,a2,…,an}相对a0的“正弦方差”,则集合{π2,5π6,7π6}相对a0的“正弦方差”为.解析由题意,得集合{π2,5π6,7π6}相对a0的“正弦方差”为ω=sin2(π2-a0)+sin2(5π6-a0)+sin2(7π6-a0)3,即3ω=cos2a0+1-cos(5π3-2a0)2+1-cos(7π3-2a0)2,所以6ω=2cos2a0+1-cos(π3+2a0)+1-cos(π3-2a0),即6ω=2cos2a0+2-2cosπ3cos2a0,所以6ω=2cos2a0+2-(2cos2a0-1),于是ω=12.答案128.阅读下列不等式的证法,并回答后面的问题.已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:a12+a22≥12.证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,则f(x)=2x2-2x+a12+a22. x∈R,f(x)≥0恒成立,∴Δ=4-8(a12+a22)≤0,∴a12+a22≥12.(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1(n∈N*),请写出上述结论的推广形式;(2)参考上述证法,请对你推广的结论加以证明.(1)解若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1(n∈N*),则a12+a22+…+an2≥1n(n∈N*).(2)证明构造函数g(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2,则g(x)=nx2-2x+a12+a22+…+an2. x∈R,g(x)≥0恒成立,∴Δ=4-4n(a12+a22+…+an2)≤0,3∴a12+a22+…+an2≥1n(n∈N*).9.点M(√22,√22)在圆C:x2+y2=1上,经过点M的圆的切线方程为√22x+√22y=1;又点Q(2,1)在圆C外部,容易证明直线2x+y=1与圆相交;点R(12,12)在圆C的内部,直线12x+12y=1与圆相离.类比上述结论,你能给出关于一点P(a,b)与圆x2+y2=r2的位置关系与相应直线ax+by=r2与圆的位置关系的结论吗?...
