考点22椭圆1.（2010·福建高考文科·Ｔ１1）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）(A)2（B）3（C）6（D）8【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值.【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设出点P坐标，依题意写出的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解.【规范解答】选C.设，则，，又因为，，又，所以.2.（2010·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）（A）（B）（C）（D）【命题立意】本题考查椭圆的基本性质以及等差数列的定义.【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出，，的关系，再转化为，间的关系，从而求出.【规范解答】选.椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,，，即：，又，，即，，（舍去）或，，故选.3．（2010·陕西高考理科·Ｔ20）如图，椭圆C：.(Ⅰ)求椭圆C的方程.(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力.其中问题（Ⅱ）是一个开放性问题，考查了观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】已知的方程组椭圆C的方程假设存在直线l使命题成立结论【规范解答】（Ⅰ）由知a2+b2=7,①由②又，③由①②③解得故椭圆C的方程为（Ⅱ）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1），(x1,y1)，假设存在直线l使成立，（ⅰ）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且得因为，由根与系数的关系得：④⑤将④⑤代入上式并化简得（ⅱ）当l与x轴垂直时，满足的直线l的方程为，4.（2010·海南高考理科·T20）设分别是椭圆E:（a>b>0）的左、右焦点，过斜率为1的直线与E相交于两点，且,,成等差数列.（Ⅰ)求E的离心率.（Ⅱ）设点P（0,-1）满足,求E的方程.【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等.解决本题时，一定要灵活运用根与系数的关系以及弦长公式等知识.【思路点拨】利用等差数列的定义，得出,,满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算.【规范解答】（Ⅰ)由椭圆的定义知，，又，得，的方程为，其中.设，则两点坐标满足方程组化简得，，则，.因为直线AB斜率为1，所以，得，故,所以E的离心率.（Ⅱ）设两点的中点为，由（Ⅰ)知，.由，可知,即，得，从而.椭圆E的方程为.【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.5.（2010·陕西高考文科·Ｔ20）如图，椭圆C：.(Ⅰ)求椭圆C的方程.(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力.其中问题（Ⅱ）是一个开放性问题，考查了观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】已知的方程组椭圆C的方程假设存在直线l使命题成立结论【规范解答】（Ⅰ）同理科.（Ⅱ）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1），(x2,y2)，假设存在直线l使成立，（ⅰ）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且得由得由根与系数的关系得：④⑤将④⑤代入上式并化简得（ⅱ）当l与x轴垂直时，满足的直线l的方程为，6.（2010·江苏高考·Ｔ１8）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A，B，右焦点为F.设过点T（）的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M，，其中m>0,.（1）设动点P满足,求点P的轨迹.（2）设，求点T的坐标.（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.【命题立意】本题主要考查求曲线的方程，考查直线与椭圆的方程及其相关的基础知识.考查运算求解能力和探究问题的能力.【思路点拨】（1）设出P点的坐标，...
