数学归纳法(25分钟45分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2016·郑州模拟)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2【解析】选D.当n=k时,左边=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左边=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,所以应加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.2.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.因为n为偶数,故假设n=k成立后,再证n=k+2时等式成立.3.(2016·南昌模拟)已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是()A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选A.f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+[2(k+1)]2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.4.(2016·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少应取()A.7B.8C.9D.10【解析】选B.1+++…+=>,整理得2n>128,解得n>7,所以初始值至少应取8.【加固训练】1.用数学归纳法证明2n>2n+1,n的第一个取值应是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.所以n的第一个取值应是3.2.用数学归纳法证明不等式++…+>(n>2)的过程中,由n=k到n=k+1时,不等式的左边()A.增加了一项:B.增加了两项:,C.增加了两项:,,又减少了一项:D.增加了一项:,又减少了一项:【解析】选C.当n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++.5.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为()A.n+1B.2nC.D.n2+n+1【解析】选C.1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4(个)区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7(个)区域;…;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=(个)区域.6.(2016·南宁模拟)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在正整数m,使得对任意n∈N*,f(n)都能被m整除,则m的最大值为()A.18B.36C.48D.54【解析】选B.由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除,猜想f(n)能被36整除,即m的最大值为36.当n=1时,可知猜想成立.假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想成立,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;当n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=(2k+7)·3k+9+36(k+5)·3k-2,因此f(k+1)也能被36整除,故所求m的最大值为36.二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2016·淮安模拟)当n为正奇数时,求证xn+yn被x+y整除,当第二步假设n=2k-1时命题为真,进而需验证n=,命题为真.【解析】当n为正奇数时,求证xn+yn被x+y整除,用数学归纳法证明时,第二步假设n=2k-1时命题为真,进而需要验证n=2k+1时命题为真.答案:2k+18.(2016·九江模拟)已知f(n)=1+++…+(n∈N*),经计算得f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,则其一般结论为.【解析】因为f(22)>,f(23)>,f(24)>,f(25)>,所以当n≥2时,有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2,n∈N*).答案:f(2n)>(n≥2,n∈N*)9.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,f(n)=(用n表示).【解析】f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3,f(5)=f(4)+4=2+3+4,f(6)=f(5)+5=2+3+4+5,猜想f(n)=2+3+4+…+(n-1)=(n>4).答案:5(n+1)(n-2)(15分钟30分)1.(5分)(2016·天津模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是()A.若f(1)<1成立,则f(10)<100成立B.若f(2)<4成立,则f(1)≥1成立C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立D.若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立【解析】选D.选项A,B与题设中不等号方向不同,故A,B错;选项C中,应该是k≥3时,均有f(k)≥k2成立;选项D符合题意.2.(5分)用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”,在验证n=1时,左端计算所得为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3【解析】选C.因为等式的左端为1+a+a2+…+an+1,所以当n=1时,左端=1+a+a2.3.(5分)利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1),n∈N*...
