第五章数系的扩充与复数章末质量评估(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的()．A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解析a＝0⇒/a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，a＋bi(a，b∈R)为纯虚数⇒a＝0.答案A2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D3．设O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA对应的复数是()．A．－5＋5iB．－5－5iC．5＋5iD．5－5i答案D4．i是虚数单位，＝()．A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i解析 i3＝－i，∴＝＝＝1－i.答案C5．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则()．A．a＝，b＝B．a＝3，b＝1C．a＝，b＝D．a＝1，b＝3解析依题意得：a＋bi＝＝＋i，∴a＝，b＝.答案A6．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于()．A．2iB．iC．－iD．－2i解析设纯虚数，z＝bi(b∈R且b≠0)，则＝＝＝，由于其为实数，∴b＝－2，故选D.答案D7．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为()．A．2cosB．－2cosC．2sinD．－2sin解析|z|＝＝＝＝2 π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，1∴2＝－2cos.答案B8．设a∈R，且(a＋i)2i为正实数，则a等于()．A．2B．1C．0D．－1解析(a＋i)2i＝(a2＋2ai－1)i＝－2a＋(a2－1)i＞0，解得a＝－1.故选D.答案D9．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是()．A．(0,3)B．(－∞，－2)C．(－2,0)D．(3,4)解析整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点在第二象限，则解得3＜m＜4.答案D10．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝()A.B.C．1D．2解析法一由z＝＝，得＝，∴z·＝·＝＝.法二 z＝＝，∴|z|＝＝＝.∴z·＝|z|2＝.答案A二、填空题(每小题5分，共25分)11．若复数z的虚部为3，模为5，则＝________.解析设z＝a＋3i(a∈R)，则a2＋9＝25，a2＝16，a＝±4，z＝±4＋3i，∴＝±4－3i.答案±4－3i12．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i，则z的模为________．解析z＝＝2i，∴|z|＝2，故填2.答案213．关于x的方程3x2－x－1＝10i－ix－2ix2有实数根，则实数a的值为______．解析设方程的实根为x＝m，则原方程可变为：＋(2m2＋m－10)i＝0，由复数相等的定义得：解②得m＝2或m＝－代入①，解得a＝11或－.答案11或－14．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且ABCD为平行四边形，则z＝________.解析由于AB＝DC，2∴2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，∴z＝3－6i.答案3－6i15．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝2的复数z＝________.解析法一由题意＝zi－(－z)＝2，即z＋zi＝2，设z＝x＋yi(x，y∈R)，则有x＋yi＋xi－y＝2，∴∴∴z＝1－i.法二 ＝zi＋z＝2，∴z(1＋i)＝2，∴z＝＝＝1－i.答案1－i三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(本小题满分13分)设复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z＋2i＝8＋ai(a∈R)，试求a的取值范围．解设z＝x＋yi，则由条件(1)知x＜0，y＞0.又z＋2i＝8＋ai，故(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai，∴消去x，得4(y－1)2＝36－a2. y＞0，∴4(y－1)2≥0，∴36－a2≥0，－6≤a≤6.又2x＝a，x＜0，∴a＜0，∴－6≤a＜0.故a的取值范围是[－6,0)．17．(本小题满分13分)已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b＝(a＋2z)2.解 z＝1＋i，∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i.而(a＋2z)2＝[(a＋2)＋2i]2＝(a＋2)2＋4(a＋2)i＋4i2＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i. az＋2b＝(a＋2z)2，∴解得或18．(本小题满分13分)已知x、y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x、y.解设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值\与最小值．解由复数及其模的几何意义知：满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1.复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，r＝1为半径的圆．而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识...
