4.3直线与圆锥曲线的交点课后训练案巩固提升1.给出下列曲线,其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是()①4x+2y-1=0;②x2+y2=3;③+y2=1;④-y2=1.A.①③B.②④C.①②③D.②③④解析:如果不深入思考,采用直线方程y=-2x-3与四个曲线方程分别联立求交点,比较复杂,且易出现差错,作为选择题,可考虑采用排除法.∵y=-2x-3可变形为4x+2y+6=0,显然与直线4x+2y-1=0平行,故排除选项A,C;将y=-2x-3代入③+y2=1,并整理,得9x2+24x+16=0,即(3x+4)2=0,解得x=-,y=-.故已知直线与曲线③有交点,可排除选项B.故选D.答案:D2.已知抛物线y2=4x与直线x-y=2交于A,B两点,则线段AB的中点坐标是()A.(4,2)B.(2,4)C.(-4,-2)D.(-2,-4)解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),把直线y=x-2代入抛物线方程y2=4x中,得x2-8x+4=0,∴x1+x2=8,=4,-2=2.∴AB的中点坐标为(4,2).答案:A3.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于()A.3B.4C.3D.4解析:设直线AB的方程为y=x+b,由⇒x2+x+b-3=0⇒x1+x2=-1,得AB的中点M,又M在直线x+y=0上,∴b=1,∴x2+x-2=0,∴|AB|==3.答案:C4.直线y-kx-1=0(k∈R)与椭圆(或圆)=1恒有公共点,则m的取值范围是()A.[1,+∞)B.(0,5)1C.(0,k)D.(1,5)解析:直线y=kx+1过定点(0,1).依题意,点(0,1)在椭圆(或圆)上或其内部,∴≤1,且m>0.∴m≥1.答案:A5.曲线y=-与曲线y+|ax|=0(a∈R)的交点个数一定是.解析:曲线y=-即x2+y2=1(y≤0),而y=-|ax|.当a≥0时,y=当a<0时,y=画出它们在同一坐标系中的图像如图所示,由图知有两个交点.答案:26.已知抛物线y2=6x的准线l与x轴交于点M,过点M作直线交抛物线于A,B两点(点A在M,B之间),点A到l的距离为2,则=.解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.∵抛物线y2=6x的准线方程为x=-,∴M.∵A到准线x=-的距离为2,∴x1=,y1=.∴直线AB的方程为y=.由得x2-5x+=0,∴x1+x2=5,∴x2=.∴y2=3.2∴=2.答案:27.直线l:ax+by-3a=0与双曲线=1只有一个公共点,则l共有条,它们的方程是.解析:当b=0时,l:x=3,∴=1,∴y=0,此时,l与双曲线只有一个公共点;当b≠0时,消去y,得(4b2-9a2)x2+54a2x-9(9a2+4b2)=0.(*)若4b2-9a2=0,即=±时,方程(*)为x=3,只有一个公共点,此时l:y=±(3-x),即2x±3y-6=0;若4b2-9a2≠0,即≠±时,二次方程(*)的判别式Δ=542a4+36(4b2-9a2)(4b2+9a2)=36(81a4+16b4-81a4)=36×16b4>0,此时直线l与双曲线必有两个交点.综上所述,l共有3条,其方程为x-3=0或2x±3y-6=0.答案:3x-3=0或2x±3y-6=08.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.解设抛物线y2=4x上的B,C两点关于直线y=kx+3对称,则直线BC的方程为x=-ky+m(k≠0),代入y2=4x,得y2+4ky-4m=0.①设点B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点M(x0,y0),则y0==-2k,则x0=2k2+m.∵点M(x0,y0)在直线y=kx+3上,∴-2k=k(2k2+m)+3.∴m=-.②又∵直线BC与抛物线交于不同的两点,∴方程①中,Δ=16k2+16m>0.把②式代入化简,得<0,3即<0,解得-11,定点A(-m,0),B(m,0),S为一动点,点S与A,B两点连线斜率之积为-.(1)求动点S的轨迹C的方程,并指出它是哪一种曲线;(2)若m=,问t取何值时,直线l:2x-y+t=0(t>0)与曲线C有且只有一个交点.解(1)设S(x,y),则kSA=,kSB=.由题意,得=-,即+y2=1(x≠±m).∵m>1,∴轨迹C是中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点),其中长轴长为2m,短轴长为2.(2)若m=,则曲线C的方程为+y2=1(x≠±).由消去y,得9x2+8tx+2t2-2=0.令Δ=64t2-36×2(t2-1)=0,得t=±3.∵t>0,∴t=3.此时直线l与曲线C有且只有一个交点.10.导学号90074083如图,设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.解(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.4由=2得|DF1|=c.从而|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=.所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0.由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0.解得x1=-或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.5又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.6
