课时作业(六)曲线与方程A组基础巩固1．已知0≤α＜2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为()A.B.C.或D.或解析：由已知，得(cosα－2)2＋sin2α＝3，故cosα＝.又0≤α＜2π，∴α＝或.答案：C2．已知A(－1,0)，B(1,0)，且MA·MB＝0，则动点M的轨迹方程是()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝1(x≠±1)D．x2＋y2＝2(x≠±)解析：设动点M(x，y)，则MA＝(－1－x，－y)，MB＝(1－x，－y)．由MA·MB＝0，得(－1－x)(1－x)＋(－y)2＝0，即x2＋y2＝1.故选A.答案：A3．与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝3B．x2＋2xy＝1(x≠±1)C．y＝D．x2＋y2＝9(x≠0)解析：设P(x，y)， kPA＋kPB＝－1，∴＋＝－1，整理得x2＋2xy＝1(x≠±1)．答案：B4．“点M在曲线y2＝4x上”是点M的坐标满足方程y＝－2的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：点M在曲线y2＝4x上，其坐标不一定满足方程y＝－2，但当点M的坐标满足方程y＝－2时，则点M一定在曲线y2＝4x上，如点M(4,4)时．答案：B5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|得＝2，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.∴点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，S＝πr2＝4π.答案：B6．方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线是()1解析：原方程等价于或x2＋y2＝4.其中当x＋y－1＝0时，需有意义，即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分及圆x2＋y2＝4.答案：D7．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________．解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x＋1.又M为AB的中点，所以即将其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2.答案：y＝4x28．已知点A(a,2)既是曲线y＝mx2上的点，也是直线x－y＝0上的一点，则m＝________，a＝________.解析：由题意知，∴a＝2，m＝.答案：29．设P为曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．解析：设M(x，y)是轨迹上的任意一点，点P的坐标为(x0，y0)．由题意，知x0＝2x，y0＝2y，代入曲线方程，得x2－4y2＝1，故点M的轨迹方程为x2－4y2＝1.答案：x2－4y2＝110．一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．解析：设动点坐标为(x，y)，则动点到直线x＝8的距离为|x－8|，到点A的距离为.由已知，得|x－8|＝2，化简得3x2＋4y2＝48.∴动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.B组能力提升11．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0解析：考查命题形式的等价转换．所给语句不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A、C错误，B显然错误．答案：D12．设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作为等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是________．解析：设点Q，P的坐标分别为(x，y)、(1，y0)，由OQ⊥OP得kOQ·kOP＝－1，即·＝－1，y0＝－.①2又由|OQ|＝|OP|得＝，即x2＋y2＝y＋1.②将①代入②中，整理得(y2－1)(x2＋y2)＝0， x2＋y2≠0，∴y2－1＝0，∴y＝±1.∴所求轨迹是两条直线y＝±1.答案：两条直线y＝±113．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)解析：方法一(直接法)：如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，所以x2＋2＝(去掉原点)．方法二(定义法)：如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(...
