课时提升作业(三十九)数学归纳法(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·郑州模拟)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2【解析】选D.当n=k时,左边=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左边=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,所以应加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6【解析】选C.当n=1时,21=2=12+1,当n=2时,22=4<22+1=5,当n=3时,23=8<32+1=10,当n=4时,24=16<42+1=17,当n=5时,25=32>52+1=26,当n=6时,26=64>62+1=37,故起始值n0应取5.3.(2015·南昌模拟)已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是()A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选A.f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+[2(k+1)]2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,故选A.4.(2015·潍坊模拟)某个命题与正整数有关,若当n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=4时该命题不成立,那么可推得()A.当n=5时,该命题不成立B.当n=5时,该命题成立C.当n=3时,该命题成立D.当n=3时,该命题不成立【解析】选D.由数学归纳法的特点可以知道,当n=4时该命题不成立,可知当n=3时,该命题不成立.5.对于不等式
1)时,第一步应验证的不等式是.【解析】由n∈N*,n>1知,n取第一个值n0=2,当n=2时,不等式为1++<2.答案:1++<2【误区警示】此题很容易出现,第一步验证的不等式是n=2时左边为1+,缺少了,而导致答案不正确.7.设Sn=1++++…+,则Sn+1-Sn=.【解析】因为Sn+1=1++…+++…+,Sn=1++++…+,所以Sn+1-Sn=++…+.答案:+++…+8.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n都有(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=.【解析】由(S1-1)2=得:S1=;由(S2-1)2=(S2-S1)S2得:S2=;由(S3-1)2=(S3-S2)S3得:S3=.猜想Sn=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列{an}中,1-,-<,所以-0,所以an=.(2)因为an=,所以Sn=1+++…+.①当n=1时,左边=1,右边=2,左<右,所以n=1时,Sn<2.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时所证不等式成立,即Sk<2,当n=k+1时,Sk+1=1+++…++<2+=<==2.故n=k+1时,不等式仍成立.由①②可知,对任意n∈N*,不等式成立.【一题多解】解答此题还有如下方法:(1)因为a1=1,an>0,(n2+n)(-)=1,所以a2=,a3=,a4==,…,猜想an=,下面用数学归纳法证明,①当n=1时,因为a1=1,所以n=1时,an=.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时所证成立,即ak=,当n=k+1时,因为...
