高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课堂演练（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.2基本不等式A级基础巩固一、选择题1．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为a，b∈R时，都有a2＋b2≥2ab，而＋≥2等价于ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件．答案：B2．下列不等式中，正确的个数是()①若a，b∈R，则≥；②若x∈R，则x2＋2＋≥2；③若a，b为正实数，则≥.A．0B．1C．2D．3解析：显然①不正确；对于②，虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋>2成立，故②正确；③不正确，如a＝1，b＝4.答案：B3．函数y＝＋x(x>3)的最小值是()A．5B．4C．3D．2解析：原式变形为y＝＋x－3＋3.因为x>3，所以x－3>0，所以>0，所以y≥2＋3＝5，当且仅当x－3＝，即x＝4时等号成立．答案：A4．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5解析：因为直线＋＝1过点(1，1)，所以＋＝1.又a，b均大于0，所以a＋b＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．所以a＋b的最小值为4.答案：C5．函数y＝(x≠0)的最大值及此时x的值为()1A.，B.，±C.，－D.，±3解析：y＝＝(x≠0)，因为x2＋≥2＝6，所以y≤，当且仅当x2＝，即x＝±时，ymax＝.答案：B二、填空题6．若x≠0，则f(x)＝2－3x2－的最大值是________，取得最值时x的值是________．解析：f(x)＝2－3≤2－3×4＝－10，当且仅当x2＝，即x＝±时取等号．答案：－10±7．已知x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值是________．解析：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2＋1＝2＋1＝7，当且仅当x＝3y，即x＝1，y＝时，等号成立．答案：78．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．解析：设两数为x，y，即4x＋9y＝60.＋＝·＝≥＝×(13＋12)＝.当且仅当＝，且4x＋9y＝60，即x＝6且y＝4时等号成立，故应填6和4.答案：64三、解答题9．(1)已知x<2，求函数f(x)＝x＋的最大值．(2)已知00，所以f(x)＝x＋＝－＋2≤－2＋2＝－2，当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)，即x＝0时，等号成立．所以f(x)＝x＋的最大值为－2.(2)因为00.所以y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立．所以函数y＝x(1－2x)的最大值为.10．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以≥＞0，≥＞0，≥＞0.且上述三个不等式中等号不能同时成立．所以··＞abc.所以lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.B级能力提升1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物2的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处解析：由已知：y1＝，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8.当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．答案：A2．(2017·天津卷)若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．解析：因为a，b∈R，ab＞0，所以≥＝4ab＋≥2＝4，当且仅当即时取得等号．故的最小值为4.答案：43．若对任意x＞0，≤a恒成立，求实数a的取值范围．解：由x＞0，知原不等式等价于0＜≤＝x＋＋3恒成立．又x＞0时，x＋≥2＝2，所以x＋＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．因此＝5，从而0＜≤5，解得a≥.故实数a的取值范围为.3