2.2.3向量的数乘A级基础巩固1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.答案：D2．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有()(1)a与－λa的方向相反；(2)|－λa|≥|a|；(3)a与λ2a方向相同；(4)|－2λa|＝2|λ|·|a|.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确．答案：B3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0.则()A.AO＝2ODB.AO＝ODC.AO＝3ODD．2AO＝OD解析：因为D为BC的中点，且2OA＋OB＋OC＝0，所以OB＋OC＝2OD.所以2OA＋2OD＝0.则OA＋OD＝0，因此AO＝OD.答案：B4．化简的结果是()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b解析：原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a.答案：B5．设四边形ABCD中，有DC＝AB且|AD|＝|BC|，则这个四边形是()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形解析：因为DC＝AB，所以AB∥DC且AB≠DC.所以四边形ABCD是梯形．又|AD|＝|BC|，所以四边形ABCD是等腰梯形．答案：C6．已知|a|＝|b|，b与a的方向相反，若a＝λb，则λ＝________.解析：因为|a|＝|b|，b与a的方向相反，所以a＝－b.所以λ＝－.答案：－7．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．解析：因为λa＋b与a＋2b平行，1所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb.所以解得答案：8．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝__________________．解析：由2－(c＋b－3y)＋b＝0，得2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0，所以y＝a－b＋c.答案：a－b＋c9．已知两个非零向量e1和e2不共线，如果AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．证明：因为BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，所以BD＝BC＋CD＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝10e1＋15e2.又因为AB＝2e1＋3e2，所以BD＝5AB.所以AB，BD共线，且有公共点B.所以A，B，D三点共线．B级能力提升10．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5解析：因为MA＋MB＋MC＝0，所以MA＋MA＋AB＋MA＋AC＝0.从而有AB＋AC＝－3MA＝3AM＝mAM，故有m＝3.答案：B11．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________．解析：＝＝2，所以|a|＝2|b|.又a与b的方向相反，所以a＝－2b.所以m＝－2.答案：－212．已知非零向量e1，e2不共线，且AB＝e1＋e2，BC＝ke1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．若A，B，D三点共线，试确定实数k的值．解：因为BD＝BC＋CD＝ke1＋8e2＋3(e1－e2)＝(k＋3)e1＋5e2，又A，B，D三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AB＝λBD，即e1＋e2＝λ[(k＋3)e1＋5e2]，即[λ(k＋3)－1]e1＝(1－5λ)e2.又e1，e2不共线，所以则所以k＝2.13．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f.(1)将AD用e，f表示；(2)求证：四边形ABCD为梯形．(1)解：根据向量的线性运算法则，有AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，2所以AD与BC同向，且AD的长度为BC长度的2倍．所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．3
