第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和课后篇巩固提升基础达标练1.已知数列{an}的通项公式是an=2n,Sn是数列{an}的前n项和,则S10等于()A.10B.210C.a10-2D.211-2解析 an+1an=2n+12n=2,∴数列{an}是公比为2的等比数列,且a1=2.∴S10=2(1-210)1-2=211-2.答案D2.在等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为()A.81B.120C.168D.192解析因为a5a2=27=q3,所以q=3,a1=a2q=3,S4=3(1-34)1-3=120.答案B3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,则Snan=()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1解析设公比为q,则q=a2+a4a1+a3=12,于是a1+14a1=52,因此a1=2,于是Sn=2[1-(12)n]1-12=4[1-(12)n],而an=2(12)n-1=(12)n-2,于是Snan=4[1-(12)n](12)n-2=2n-1.答案D4.在14与78之间插入n个数组成一个等比数列,若各项总和为778,则此数列的项数为()A.4B.5C.6D.7解析设a1=14,an+2=78,则Sn+2=14-78q1-q=778,解得q=-12.所以an+2=14·(-12)n+1=78,解得n=3.故该数列共5项.答案B5.(多选)(2020山东高二期末)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an2+3an(n∈N*),则下列结论正确的有()A.{1an+3}为等比数列B.{an}的通项公式为an=12n+1-3C.{an}为递增数列D.{1an}的前n项和Tn=2n+2-3n-4解析因为1an+1=2+3anan=2an+3,所以1an+1+3=2(1an+3),又1a1+3=4≠0,所以{1an+3}是以4为首项,2为公比的等比数列,1an+3=4×2n-1,即an=12n+1-3,{an}为递减数列,{1an}的前n项和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1-3)=2(21+22+…+2n)-3n=2×2×(1-2n)1-2-3n=2n+2-3n-4.故选ABD.答案ABD6.对于等比数列{an},若a1=5,q=2,Sn=35,则an=.解析由Sn=a1-anq1-q,得an=a1-(1-q)Snq=5+352=20.答案207.在等比数列{an}中,设前n项和为Sn,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.解析因为a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减,得a4-a3=2a3,即a4=3a3,所以q=a4a3=3.答案38.已知等比数列{an}是递减数列,Sn是{an}的前n项和,若a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两个根,则公比q=,S5=.解析 a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两根,且等比数列{an}是递减数列,∴a1=1,a2=12,则公比q=12,∴S5=a1(1-q5)1-q=1-1251-12=3116.答案1231169.已知等比数列{an}满足a3=12,a8=38,记其前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若Sn=93,求n.解(1)设等比数列{an}的公比为q,则{a3=a1q2=12,a8=a1q7=38,解得{a1=48,q=12,所以an=a1qn-1=48·(12)n-1.(2)Sn=a1(1-qn)1-q=48[1-(12)n]1-12=96[1-(12)n].由Sn=93,得961-(12)n=93,解得n=5.10.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,方程ax2-3x+2=0的解为1和b(b≠1).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}满足bn=an·2n,求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)因为方程ax2-3x+2=0的两根为x1=1,x2=b,可得{a-3+2=0,ab2-3b+2=0,解得{a=1,b=2.所以an=2n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)·2n,所以Tn=b1+b2+…+bn=1×2+3×22+…+(2n-1)·2n,①2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,②由①-②,得-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1=2(2+22+23+…+2n)-(2n-1)·2n+1-2=2·2(1-2n)1-2-(2n-1)·2n+1-2=(3-2n)·2n+1-6.所以Tn=(2n-3)·2n+1+6.能力提升练1.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1),a1a2a3=8,则Sn=()A.2n-1B.2n-1-1C.2n+1-1D.2n+1解析显然q≠1,由已知,得a1(1-q2n)1-q=3×a1(1-q2n)1-q2,整理,得q=2.因为a1a2a3=8,所以a23=8,所以a2=2,从而a1=1.于是Sn=1-2n1-2=2n-1.答案A2.(多选)(2020江苏启东中学高二开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2,若存在两项am,an,使得aman=64,则()A.数列{an}为等差数列B.数列{an}为等比数列C.a12+a22+…+an2=4n-13D.m+n为定值解析由题意,当n=1时,S1=2a1-2,解得a1=2,当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,所以Sn-Sn-1=an=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1,所以anan-1=2,所以数列{an}是以首项a1=2,公比q=2的等比数列,an=2n,故选项A错误,选项B正确;数列{an2}是以首项a12=4,公比q1=4的等比数列,所以a12+a22+…+an2=a12(1-q1n)1-q1=4×(1-4n)1-4=4n+1-43,故选项C错误;aman=2m2n=2m+n=64=26,所以m+n=6为定值,故选项D正确.故选BD.答案BD3.在等比数列{an}中,a1+a2+…+a5=27,1a1+1a2+…+1a5=3,则a3=()A.±9B.9C.±3D.3解析设公比为q,则由已知可得{a1(1-...
