三圆的切线的性质及判定定理一、基础达标1.下列说法中正确的个数是()①过圆心且垂直于切线的直线必过切点；②过切点且垂直于切线的直线必过圆心；③过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点.A.2B.3C.4D.5解析由切线的判定及性质定理知：①②④正确，③不正确，过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线或直径.答案B2.如图所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，点P是弧EG上的任意一点，则∠EPF等于()A.120°B.90°C.60°D.30°解析如图所示，连接OE，OF.∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°.∴∠EOF＋∠ABC＝180°.∴∠EOF＝120°.∴∠EPF＝∠EOF＝60°.答案C3.如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO等于()A.B.C.D.解析连接BD，作OE⊥AC于E.∵BC切⊙O于B，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BD⊥AC，∵AD＝DC，∴BA＝BC，∠A＝45°，设⊙O的半径为R，∴OC＝＝＝R.OE＝R，∴sin∠ACO＝＝＝.答案A4.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则|O1O2|＝________.解析设⊙O1和⊙O2的半径均为r，则S△ABC＝·AB·BC＝·r·(AB＋BC＋AC).∴×5×12＝×r×(5＋12＋).∴r＝2.∴|O1O2|＝＝.答案15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若AB与圆相切，则r＝________.解析过C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，AB＝＝5，∴CD·AB＝AC·BC，∴CD＝＝2.4cm，∵AB与圆相切，∴r＝CD＝2.4cm.答案2.4cm6.如图所示，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE＝BE，E在BC上，试说明PE是⊙O的切线.解连接OP，BP.∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠BPC＝90°.又∵BE＝CE，∴PE＝EB，∴∠3＝∠1.又∵OP＝OB，∴∠4＝∠2.由BC切⊙O于B，知∠1＋∠2＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，即OP⊥PE.∴PE为⊙O的切线.二、能力提升7.如图所示，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为()A.2B.1C.1.5D.0.5解析连接OD，∵AD切⊙O于D，∴OD⊥AD，又∵BC⊥AD，∴OD∥BC，∴△DOA∽△CBA，∴＝，∴BC＝＝1.答案B8.如图所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝________.解析连接OB，则OB⊥AB，∴∠AOB＝90°－∠A＝70°，∴∠BOD＝180°－∠AOB＝110°，又∵OB＝OD，∴∠OBD＝(180°－∠BOD)＝35°，∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.答案55°9.如图所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC2＝1∶2，则AO∶OB＝________.解析如图所示，连接OD，则OD⊥AC.∵AC是⊙O的切线，∴OB＝OD，OC＝OC，∠ODC＝∠OBC＝90°.∴△CDO≌△CBO.∴BC＝DC.∵＝，∴AD＝DC.∴BC＝AC.又OB⊥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝30°.∴OB＝OD＝AO.∴＝.答案2∶110.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E.求证：CF是⊙O的切线.证明连接OC，∵AB是⊙O的直径.∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝60°.在Rt△EMB中，∵∠E＋∠MBE＝90°，∴∠E＝30°.∵∠E＝∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴∠ECF＋∠OCB＝90°，又∵∠ECF＋∠OCB＋∠OCF＝180°，∴∠OCF＝90°，∴CF为⊙O的切线.11.如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径.(1)证明在△OCP与△CEP中，∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，∴∠OCP＝∠CEP.∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，∴∠OCP＝90°.又C点在圆上，∴PC是⊙O的切线.(2)解设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x.∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°，∴△OCE∽△OPC，∴＝.即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3.三、探究与创新312.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG.证明：A，B，G，F四点共圆.证明(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)易知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.因为CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠EAB＝∠EBA，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆.4
