抛物线方程及性质的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A.B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]【解析】选C.抛物线y2=8x的准线为x=-2,Q(-2,0),设l:y=k(x+2),联立得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当k=0时有解,当k≠0时,Δ≥0,解得-1≤k<0或00)上,且△AOB的面积等于4,则抛物线的方程是()A.y2=xB.y2=xC.y2=4xD.y2=8x【解析】选A.设点A(xA,yA)(yA>0),B(xB,yB)(yB<0),由于△AOB为正三角形,所以=,所以xA=yA,又S△AOB=×(2yA)·xA=4,所以xA=2,yA=2,代入方程得y2=x.5.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则=()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,2所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得y=±3,可得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:①-②得,(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为y1+y2=4,所以===k=1,所以p=2.所以所求抛物线的准线方程为x=-1.7.(2017·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为()A.8B.6C.4D.10【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线方程为y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得:x2-x-1=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦长l==8.8.(2017·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为()A.B.C.1D.2【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过A作AA1⊥l于A1,过B作BB1⊥l于B1,3设弦AB的中点为M,过M作MM1⊥l于M1,则|MM1|=.|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故M到x轴的距离d≥2.【拓展延伸】“两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B.3C.D.【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.抛物线y=x2上到直线2x-y=4的距离最短的点坐标是.【解析】设P(x,y)为抛物线y=x2上任一点,则P到直线的距离d===,所以x=1时d取最小值,此时P(1,1).答案:(1,1)410.(2017·全国甲卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,Μ是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.【解析】设N(0,a),F(2,0),那么M,点M在抛物线上,所以=8,解得a=±4,所以N(0,±4),那么|FN|==6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017·宁波高二检测)已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为...
