核心素养测评四十五利用空间向量求二面角与空间距离(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()A.4B.2C.3D.1【解析】选B.P点到平面OAB的距离为d===2.2.三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若=,则二面角A-BD-C的大小为()A.B.C.或D.或【解析】选C.如图所示,当二面角A-BD-C为锐角时,它就等于=;当二面角A-BD-C为钝角时,它应等于π-=π-=.3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为()A.2B.C.D.1【解析】选D.以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(0,2,),易知AC1∥平面BDE.设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量.则取y=1,则n=(-1,1,-)为平面BDE的一个法向量.又=(2,0,0),所以点A到平面BDE的距离是d===1.故直线AC1到平面BED的距离为1.4.如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,∠BAC=30°,圆锥的母线与底面成的角为60°,则点A到平面PBC的距离为()A.B.2C.D.【解析】选C.如图,过点O作AB的垂线Ox,以Ox,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-2,2,0),P(0,0,4).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则所以所以y=z=-x,所以取m=(-1,,1),因为=(0,4,4),所以d===,所以点A到平面PBC的距离为.5.(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4,AC,BD交于点E,则()A.M为PB的中点B.二面角B-PD-A的大小为C.若O为AD的中点,则OP⊥OED.直线MC与平面BDP所成的角为【解析】选ABC.如图①,连接ME,因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.因为四边形ABCD是正方形,所以E为BD的中点,所以M为PB的中点.如图②,取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OP⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP⊂平面PAD,所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD,所以OP⊥OE.因为四边形ABCD是正方形,所以OE⊥AD.如图②,建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=1,z=.于是n=(1,1,).平面PAD的法向量为p=(0,1,0),所以cos==.由题意知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为.由题意知M,C(2,4,0),=.设直线MC与平面BDP所成角为α,则sinα=|cos|==,所以直线MC与平面BDP所成角不为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,P是二面角α-AB-β棱上一点,分别在α,β内引射线PM,PN,若∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,则二面角α-AB-β大小为________.【解析】如图,过M在α内作MF⊥AB,过F在β内作FN⊥AB交PN于点N,连接MN.因为∠MPB=∠NPB=45°,所以△PMF≌△PNF.设PM=1,则MF=NF=,PM=PN=1,又因为∠MPN=60°,所以MN=PM=PN=1,所以MN2=MF2+NF2,所以∠MFN=90°.答案:90°7.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为________.【解析】根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过点P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.因为PA=PB=PC,所以H为△ABC的外心.又因为△ABC为正三角形,所以H为△ABC的重心,可得H点的坐标为,,.所以PH==a.所以点P到平面ABC的距离为a.答案:a8.如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,则点M到直线AD1距离的最小值为________.【解析】设M(0,m,m)(0≤m≤a),=(-a,0,a),直线AD1的一个单位方向向量s0=-,0,,由=(0,-m,a-m),故点M到直线AD1的距离d===,根式内的二次函数当m=-=时取最小值2-a×+a2=a2,故d的最小值为a.答案:a三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.(1)求证:CD=C1D.(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.(3)求点C到平面B1DP的距离.【解析】(1)连接AB1,交BA1于点O,连接OD.因为B1P∥平面BDA1,B1P⊂平面AB1P,平面AB1P∩平...
