5.4复数核心考点·精准研析考点一复数的概念1.(2019·合肥模拟)已知a,b均为实数,若+=1(i为虚数单位),则a+b=()A.0B.1C.2D.-12.(2020·吉林模拟)设i是虚数单位,为实数,则实数a的值为()A.1B.2C.D.3.已知复数z满足:(2-i)·z=1,则=()A.B.C.D.4.已知复数z的共轭复数是,且|z|-=,则z的虚部是________.【解析】1.选C.由+=1,得a(1+i)+b(1-i)=(1-i)(1+i)=2,即(a+b)+(a-b)i=2,则.所以a+b=2.2.选C.因为==+i为实数,所以2a-1=0,即a=.3.选B.由(2-i)·z=1,得z===+i,所以===.4.设z=a+bi(a,b∈R),由|z|-=,得-a+bi=,所以2+i=-b+(-a)i,所以b=-2.答案:-2关于复数的概念(1)明确复数的分类、复数相等、共轭复数,复数的模的概念.(2)解题时先要将复数化为代数形式,确定实部和虚部后解题.考点二复数的几何意义【典例】1.在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为()A.1+2iB.1-2iC.-2+iD.2+i2.(2020·郑州模拟)已知复数z1=在复平面内对应的点为A,复数z2在复平面内对应的点为B,若向量与虚轴垂直,则z2的虚部为________.3.(2019·太原模拟)若z∈C且|z+3+4i|≤2,|z-1-i|的最大值和最小值分别为M,m,则M-m=________.【解题导思】序号联想解题1由点关于虚轴对称,想到若点坐标为(x,y),则关于虚轴对称的点的坐标为(-x,y)2由与虚轴垂直想到点A,B对应的复数虚部相等3由|z+3+4i|想到|z-(-3-4i)|,想到z对应的点的轨迹【解析】1.选C.依题意得,复数z==i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点A(-2,1)对应的复数为-2+i.2.z1===-i,所以A,因为向量与虚轴垂直,且复数z2在复平面内对应的点为B,所以z2的虚部为-.答案:-3.由|z+3+4i|≤2,得z在复平面内对应的点在以Q(-3,-4)为圆心,以2为半径的圆及其内部.如图:|z-1-i|的几何意义为区域内的动点与定点P(1,1)的距离,则M=|PQ|+2,m=|PQ|-2,则M-m=4.答案:4关于复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)Z,充分利用三者之间的对应关系相互进行转化.(2)=r的几何意义是复数z,z1对应的点的距离为r,若复数z对应的点为动点,z1对应的点为定点,则复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,r为半径的圆.1.已知a∈R,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第________象限,复数z对应点的轨迹是________.【解析】令z=x+yi(x,y∈R),x=a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,y=-(a2-2a+2)=-[(a-1)2+1]≤-1,且x+y=2(x≥3,y≤-1),故复数z所对应的点在第四象限,z对应点的轨迹为一条射线.答案:四一条射线2.在复平面内,复数对应的点与原点的距离是()A.1B.C.2D.2【解析】选B.===1+i.对应的点与原点的距离是=.考点三复数的四则运算命题精解读考什么:(1)考查复数的运算、概念、几何意义等问题.(2)考查数学运算、直观想象的核心素养.怎么考:考查复数的乘除运算、复数运算的几何意义、轨迹问题.新趋势:以复数的运算为载体,考查复数的几何意义、概念、动点的轨迹问题.学霸好方法1.关于复数的四则运算及应用熟练运用复数的加、减、乘、除的运算法则是关键,再结合复数的相关概念、几何意义解决相关的问题.2.交汇问题与三角函数交汇时需要结合三角函数的相关公式计算,与轨迹交汇时可以转化为解析几何问题解决复数四则运算的综合应用【典例】若z=1+2i,则=()A.1B.-1C.iD.-i【解析】选C.因为z=1+2i,则=1-2i,所以z=(1+2i)(1-2i)=5,则==i.复数混合运算应注意什么?提示:分清运算层次,逐层进行运算.复数四则运算的几何意义【典例】如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1·z2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,它所对应的点为(1,-2),在第四象限.向量、复数的运算、点的坐标怎样关联?提示:将向量转化为对应的复数,利用复数运算后再对应相应的点、向量.复数四则运算的交汇问题【典例】(2019·邢台模拟)若复数x=sinθ-+i(θ∈R)是纯虚数,则cosθ+icos2θ的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为复数x=sinθ-+i(θ∈R)是纯虚数,所以,即sinθ=,cosθ=-(θ为第二象限角).则cos2θ=1-2sin2θ=1-2×=.所以cosθ+icos2θ的共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内对应的...
