高考数学总复习 第九单元 解析几何 第62讲 直线与圆锥曲线的位置关系检测-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第62讲直线与圆锥曲线的位置关系1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(A)A．相交B．相切C．相离D．不确定因为直线可变形为y＝k(x－1)＋1，可知直线恒过(1,1)点，而(1,1)在椭圆内，所以直线与椭圆相交．2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，原点与线段MN中点的连线的斜率为，则的值是(A)A.B.C．2D.消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，所以MN的中点为(，1－)．依题意＝，即＝.3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C)A．(1,2]B．(1,2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，所以该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，所以≥，所以离心率e2＝＝≥4，所以e≥2，即e∈[2，＋∞)．4．(2017·南关区模拟)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A、B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(C)A.B．2C．4D．8由题意知抛物线的准线为x＝－4，设等轴双曲线方程为：x2－y2＝a2(a>0)，将x＝－4代入等轴双曲线方程解得y＝±，因为|AB|＝4，所以2＝4，解得a＝2.所以C的实轴长为4.5．抛物线y2＝4x与直线2x－y＋m＝0相交所得的弦长为3，则m的值为－4.将直线方程代入抛物线方程整理得：y2－2y＋2m＝0，所以|AB|＝|y1－y2|＝＝3，所以m＝－4.6．(2016·湖北孝感模拟)若点(3,1)是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是2.设以点(3,1)为中点的弦所在的直线交抛物线y2＝2px(p>0)于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则由①－②得y－y＝2p(x1－x2)，则＝，由题意知，kAB＝2，且y1＋y2＝2.故kAB＝＝＝2.所以p＝2.7．(2017·新课标卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝＝＝1.(2)由y＝，得y′＝.设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.从而|AB|＝|x1－x2|＝4.由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.8．(2016·北京东城模拟)已知双曲线－＝1与直线x＋y－1＝0交于P，Q两点，且OP·OQ＝0(O为原点)，则－的值为(B)A．1B．2C．3D.由得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.因为OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2.9．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞).依题意可知机器人运行的轨迹方程为y2＝4x.设直线l：y＝k(x＋1)，联立消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，得k2＞1，解得k＜－1或k＞1.10．(2016·新课标卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．(1)如图，由已知得M(0，t)，P(，t)．又N为M关于点P的对称点，故N(，t)，故直线ON的方程为y＝x，将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝.因此H(，2t)．所以N为OH的中点，即＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．