高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式讲末检测 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

【金版学案】2015-2016学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式讲末检测新人教A版选修4-5一、选择题(每小题5分，共60分)1．若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为()A．5B．6C．7D．8答案:A2．设xy＞0，则的最小值为()A．10B．9C．8D．7答案:B3．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是()A.B.C．2D.解析：1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2＝[()2＋()2＋(2)2](12＋12＋12)≥(＋＋2)2，∴(＋＋2)2≤3. a，b，c为正数，∴＋＋2≤.答案：B4．若a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中取值最大的一个是()A．ax＋cy＋bzB．bx＋ay＋czC．bx＋cy＋azD．ax＋by＋cz答案：D5．已知a＋a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是()A．1B．2C.D．4解析：|a1x1＋a2x2＋…＋anxn|≤×＝1，当且仅当＝＝…＝时，等号成立．答案：A6．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝3，则x2＋y2＋z2的最小值是()A．1B.C.D．3解析：x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)×≥(1×x＋1×y＋1×z)2×＝＝3.答案：D7．设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的值()A．大于9B．不大于9C．小于9D．不小于9解析：构造两组数，，；，，.于是由柯西不等式有[()2＋()2＋()2]≥，即(a＋b＋c)·≥32. a＋b＋c＝1，∴＋＋≥9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．答案：D8．已知x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是()A.B.C.D.解析：根据柯西不等式有(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝1，∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时，x2＋y2＋z2取最小值，最小值为.答案：A9．设x1，x2，…，xn是互不相同的正整数，则m＝＋＋…＋的最小值是()A．1B．2C．1＋＋＋…＋D．1＋＋＋…＋1解析：设a1，a2，…，an是x1，x2，…，xn的一个排列，且满足a1＜a2＜…＜an.因为a1，a2，…，an是互不相同的正整数，所以a1≥1，a2≥2，…，an≥n.又因为1＞＞＞…＞，所以由排序不等式，得＋＋＋…＋≥a1＋＋＋…＋≥1×1＋2×＋3×＋…＋n×＝1＋＋＋…＋.答案：C10．已知a，b，c∈R＋，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)()A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B11．若a，b，c为正数，则·(＋＋)的最小值为()A．1B．－1C．3D．9解析：由柯西不等式可知·≥＝32＝9.答案：D12．已知a，b，c∈R＋，设P＝2(a3＋b3＋c3)，Q＝a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)，则()A．P≤QB．P＜QC．P≥QD．P＞Q解析：根据排序原理，取两组数a，b，c；a2，b2，c2.不妨设a≥b≥c＞0，所以a2≥b2≥c2＞0，所以由排序原理，得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a，a2a＋b2b＋c2c≥a2c＋b2a＋c2b，将上面两式相加，得2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．∴P≥Q.答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13．下列命题中正确的序号为________．①logab＋logbc＋logca≥3成立，当且仅当a，b，c∈(1，＋∞)；②≥2成立，当且仅当a≠0；③a2＋b2＋c2≤ab＋bc＋ca.解析：①中因为a，b，c∈(1，＋∞)或(0，1)．③由排序不等式知对任意顺序的a，b，c，其顺序和a2＋b2＋c2为最大值，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.答案：②14．在锐角△ABC中，a＜b＜c，设M＝acosC＋bcosB＋ccosA，N＝acosB＋bcosC＋ccosA，则M与N的大小关系是________．解析： 在锐角△ABC中，a＜b＜c，∴A＜B＜C＜90°，∴cosA＞cosB＞cosC．由排序原理：顺序和≥乱序和，∴M＞N.答案：M＞N15．已知x，y，a，b∈R＋，且＋＝1，则x＋y的最小值为________(用a，b表示)．解析：构造两组实数，与，. x，y，a，b∈R＋，＋＝1，∴x＋y＝[()2＋()2]·≥(＋)2，当且仅当＝时，等号成立．答案：(＋)216．y＝2＋的最大值是________．解析：y＝×＋1×≤＝.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分)217．(本小题满分11分)设a，b，c，d为实数，求证：(a3＋b3＋c3＋d3)2≤4(a6＋b6＋c6＋d6)．证明：由柯西不等式(a3＋b3＋c3＋d3)2≤[(a3)2...