4用向量讨论垂直与平行[A组基础巩固]1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：l∥α⇒a·n＝0，经检验只有D适合．答案：D2．已知AB＝(－3,1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2,4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为()A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交但不垂直D．AB∥α解析：因为n·AB＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥AB.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.答案：D3．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)，则()A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直D．l1，l2，l3两两互相垂直解析： a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c，∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.答案：A4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是()A．－B．6C．－6D.解析： α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行，∴＝＝，∴λ＝6.答案：B5.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD等于()1A．1∶2B．1∶1C．3∶1D．2∶1解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a.则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)．设点F的坐标为(0，y,0)，则BF＝(－1，y,0)，PE＝. BF⊥PE，∴BF·PE＝0，解得y＝，则F点坐标为，∴F为AD中点，∴AF∶FD＝1∶1.答案：B6．设两条不重合的直线a，b的方向向量分别是e1，e2，平面α的法向量是n，有下面命题：①⇒b∥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α.其中，正确命题的序号是________．解析：对于①，有b⊥α，不正确，④正确，易判断②③正确．答案：②③④7．已知平面α，β的一个法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)，则平面α、β的关系是________．解析：因为v＝－3u，所以v∥u，所以α∥β或α与β重合．答案：平行或重合8．若平面π1的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且π1∥π2，则y＋z＝________.解析： π1∥π2，∴n1∥n2.∴＝＝.∴y＝1，z＝－4.∴y＋z＝－3.答案：－39．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点，求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.2证明：(1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1，，0)，D，P(0,0,2)，E，所以CD＝，AE＝，所以CD·AE＝－1×＋×＋0×1＝0，所以CD⊥AE.(2)由(1)，得PD＝，AB＝(2,0,0)，AE＝，设向量n＝(x，y，z)是平面ABE的法向量，则由，得，取y＝2，则n＝(0,2，－)，所以PD＝n，所以PD∥n，所以PD⊥平面ABE.10.如图，在空间直角坐标系中，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点，M是AF的中点，求证：(1)直线EE1∥平面FCC1；(2)平面ADD1A1∥平面FCC1.证明：因为D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，－1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(，－，0)，E1(，－1,1)，所以DA＝(，－1,0)，DD1＝(0,0,2)，EE1＝(，－，1)，CF＝(，－1,0)，CC1＝(0,0,2)．(1)设平面FCC1的法向量为n＝(x，y，z)，则，即，令x＝1，可得n＝(1，，0)，则n·EE1＝－＋0＝0，所以n⊥EE1，又直线EE1⃘平面FCC1，所以直线EE1∥平面FCC1.(2)设平面ADD1A1的法向量为m＝(x，y，z)，则，即，令x＝1，可得m＝(1，，0)，由(1)知m＝n，即m∥n，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.[B组能力提升]1.AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，BP＝(x－1，y，－3)，若AB⊥BC，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，－，4B.，－，4C.，－2,4D．4，，－15解析：因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，...
