课时分层作业(三)几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝mx2m-n的导数为y′＝4x3，则()A．m＝－1，n＝－2B．m＝－1，n＝2C．m＝1，n＝2D．m＝1，n＝－2D[∵y＝mx2m-n，∴y′＝m(2m－n)x2m-n-1，又y′＝4x3，∴∴即]2．若f(x)＝，则f(x)的导数是()A．B.C．D.A[f′(x)＝＝.]3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为()A．B．C．D．B[∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(x)＝3ax2＋6x，又f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.]4．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(－1,1)D．(1,1)或(－1，－1)D[切线的斜率k＝tanπ＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.]5．某质点的运动方程为s＝(其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t＝3秒时的速度为()A．－4×3－4米/秒B．－3×3－4米/秒C．－5×3－5米/秒D．－4×3－5米/秒D[由s＝得s′＝＝(t－4)′＝－4t－5.得s′|t＝3＝－4×3－5，故选D.]二、填空题6．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.1[因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.]7．函数y＝lnx在x＝2处的切线斜率为________．[∵y＝lnx，∴y′＝，∴y′|x＝2＝.]8．已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f′＝________.－[∵f′(x)＝f′cosx－sinx，∴f′＝f′cos－sin＝－1，∴f′(x)＝－cosx－sinx，∴f′＝－cos－sin＝－.]三、解答题9．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．[解]∵f′(x)＝＝，∴f′(c)＝.依题意知f(c)＋f′(c)＝0，即＋＝0，∴2c－1＝0，得c＝.10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．[解]因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2019(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosxD[f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4为最小正周期，故f2019(x)＝f3(x)＝－cosx．]2．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64B．32C．16D．8A[因为y′＝－x，所以曲线y＝x在点(a，a)处的切线方程为：y－a＝－a(x－a)，由x＝0得y＝a，由y＝0得x＝3a，所以·a·3a＝18，解得a＝64.]3．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为()A．(－2，－8)B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8)D．B[∵y′＝3x2，k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1.故P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]4．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________.eln3[设切点为(x0，y0)．因为y′＝3xln3，①所以k＝3ln3，所以y＝3ln3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3ln3·x0＝3，②所以x0＝＝log3e.所以k＝eln3.]5．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[解](1)因为y′＝2x.P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，切线的斜率k＝y′|＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点M，与PQ平行的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
