（新课标）高考数学大一轮复习 第3章 第8节 正弦定理和余弦定理的应用举例课时作业 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时作业(二十五)正弦定理和余弦定理的应用举例一、选择题1．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()A．10kmB．10kmC．10kmD．10km答案：D解析：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝100＋400－2×10×20×＝700，∴AC＝10，故应选D.2．(2015·北京模拟)一艘渡轮从A出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，渡轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里答案：A解析：如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，AB＝40×＝20(海里)，∠BCA＝45°，∴由正弦定理，可得＝，∴BC＝＝10(海里)．故应选A.3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B.在点B测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m答案：A解析：设水柱的高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理，得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.故应选A.4．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，则∠DEF的余弦值为()A.B．C．D．答案：A解析：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝＝＝10(m)，DE＝＝＝130(m)，EF＝＝＝150(m)．在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝＝＝.故应选A.5．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)()A．180米B．214米C．242米D．266米答案：C解析：如图， ∠BCA＝42°，∠BDA＝39°，∴∠DBC＝3°.在△BDC中，DC＝30，＝，∴BC＝.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin42°＝≈242(米)．故应选C.6．(2015·云南调研)如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，则乙船的速度为()A．25海里/小时B．25海里/小时C．30海里/小时D．30海里/小时答案：D解析：如图，连接A1B2，由题知A1A2＝30×＝10，A2B2＝10，又∠A1A2B2＝60°，∴△A1A2B2为正三角形，从而A1B2＝10，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，又A1B1＝20，在△B1A1B2中，由余弦定理，得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.∴B1B2＝10，∴乙船的速度为×60＝30(海里/小时)，故应选D.二、填空题7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.答案：－1解析：如图，由已知得∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°即x2＋2x－5＝0，解得x＝－1.8．(2015·沈阳模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D.现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB＝________.e答案：s解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，所以BC＝＝＝s.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝s·tan30°＝s.9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．答案：10解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理得＝，则BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan60°＝，...