高中数学 5.6 运用数学归纳法证明不等式自我小测 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-7数学试题VIP免费

5.6运用数学归纳法证明不等式自我小测1设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于________．2观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出结论：_____________________________________________________________________________________________________________________________________.3用数学归纳法证明时：设f(k)＝1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则f(k＋1)＝________.4(2010淮南高考调研，理13)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．5求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N＋)．6用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．7设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．8已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．9求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)＝n(n－3)(n∈N＋，n≥4)．10已知数列{an}满足条件(n－1)an＋1＝(n＋1)(an－1)，且a2＝6(n∈N＋)．(1)求a1、a3、a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．11已知点的序列An(xn,0)，n∈N＋，其中x1＝0，x2＝a(a＞0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．1参考答案1．＋＋解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.2．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)23．1×4＋2×7＋…＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)24．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2解析： f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2.而f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.5．证明：(1)当n＝1时，左边＝2，右边＝2×1＝2，所以等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即(k＋1)×(k＋2)×…×(k＋k)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立．那么当n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)×(k＋2)×…×(2k＋1)＝2k＋1×1×3×5×…×(2k－1)[2(k＋1)－1]，即n＝k＋1时等式成立．由(1)、(2)可知，对任何n∈N＋等式均成立．6．证明：(1)当n＝1时．左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)，则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－2k2－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，即当n＝k＋1时，等式成立．由(1)、(2)可知，对任何n∈N＋，等式成立．解析：当n＝k＋1时，左边的项应该增加两项(2k＋1)2－(2k＋2)2.7．－8．(5,7)解析：设每个数对内的两数之和为k，则组成数对的个数为ak＝k－1，k＝2,3，….则由不等式Sk＝＝＜60，得k(k－1)＜120，则k的最大值为11，且S11＝＝55，则第56个数对之和为12，即(1,11)，后面的依次为(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，所以第60个数对为(5,7)．9．证明：(1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，×4×(4－3)＝2，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有f(k)＝k(k－3)个，现在考虑n＝k＋1的情形，第k＋1条棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的k－2条棱分别增加了1个对角面，共(k－2)个，而面A1B1BkAk变成了对角面，因此对角面的个数变为f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k2－3k＋2k－2)＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]．即当n＝k＋1时，等式成立．由(1)、(2)可知，命题对n≥4，n∈N＋都成立．2解析：利用“递推”法，f(k＋1)－f(k)来寻找n＝k＋1比n＝k时增加的对角面的个数．10．解：(1) (n－1)an＋1＝(n＋1)(an－1)(n∈N＋)，且a2＝6，∴当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a3＝3(a2－1)＝15；当n＝3时，2a4＝4(a3－1)＝5...