2.5向量的应用A级基础巩固1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1，2)D．(1，2)解析：为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，所以F4＝(0－(－2)－(－3)－4，0－(－1)－2－(－3))＝(1，2)．答案：D2．在四边形ABCD中，若AB＋CD＝0，AC·BD＝0，则四边形为()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形解析：由题意可知，AB∥CD，|AB|＝|CD|，且AC⊥BD，所以四边形ABCD为菱形．答案：D3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛顿，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为()A．100焦耳B．50焦耳C．50焦耳D．200焦耳解析：设小车位移为s，则|s|＝10米．WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50(焦耳)．答案：B4．在△ABC中，若(CA＋CB)·(CA－CB)＝0，则△ABC为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．形状无法确定解析：因为(CA＋CB)·(CA－CB)＝0，所以CA2－CB2＝0，CA2＝CB2.所以CA＝CB，△ABC为等腰三角形．答案：C5．O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(PB－PC)·(OB＋OC)＝(PC－PA)·(OA＋OC)＝0，则O为△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心解析：因为(PB－PC)·(OB＋OC)＝0，则(OB－OC)·(OB＋OC)＝0，所以OB2－OC2＝0，所以|OB|＝|OC|.同理可得|OA|＝|OC|，即|OA|＝|OB|＝|OC|.所以O为△ABC的外心．答案：B16．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.解析：如图所示，船速|v1|＝5(km/h)，水速为v2，实际速度|v|＝10(km/h)，所以|v2|＝＝＝5(km/h)．答案：57．在△ABC中，已知|AB|＝|AC|＝4，且AB·AC＝8，则这个三角形的形状是__________________．解析：因为AB·AC＝4×4×cosA＝8，所以cosA＝.所以∠A＝.所以△ABC是正三角形．答案：正三角形8．过点A(2015，2016)且垂直于向量a＝(－1，1)的直线方程为______________．解析：在直线上任取一点P(x，y)，则AP＝(x－2015，y－2016)，依题意AP·a＝0，所以－(x－2015)＋y－2016＝0，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝09．两个粒子a，b从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4，3)，vb＝(2，10)．(1)写出此时粒子b相对粒子a的位移v；(2)计算v在va方向上的投影．解：(1)v＝vb－va＝(2，10)－(4，3)＝(－2，7)．(2)|v|·cos〈v，va〉＝＝＝＝.10.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解：设AD＝a，AB＝b，则AC＝a＋b，BD＝a－b，由已知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则(a－b)2＝|a－b|2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4，则1－2a·b＋4＝4，所以a·b＝.所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋4＝6，所以|a＋b|＝.故对角线AC的长为.B级能力提升11．在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是()A.B.C.D.2解析：由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PB＋BA＋PC＝0，即PC＝2AP，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.答案：C12．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝1，则OA·OB＝________．解析：因为圆x2＋y2＝1的半径为1，AB＝1，所以△AOB为正三角形．所以OA·OB＝1×1·cos60°＝.答案：13．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1，1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．解：设M(x0，y0)，N(x，y)，由MA＝2AN得(1－x0，1－y0)＝2(x－1，y－1)．所以将代入方程：(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，得x2＋y2＝1.所以点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.3
