2.3.1双曲线的标准方程课时过关·能力提升1.若双曲线的方程为x210−y26=1,则它的焦点坐标是()A.(±2,0)B.(±4,0)C.(0,±2)D.(0,±4)解析:因为c2=a2+b2=10+6=16,焦点在x轴上,所以焦点坐标为(4,0),(-4,0).答案:B2.若方程x21+k−y21-k=1表示双曲线,则k的取值范围是()A.-10C.k≤0D.k>1或k<-1解析:因为方程x21+k−y21-k=1表示双曲线,所以有(1+k)(1-k)>0,解得-10,于是焦点都在x轴上,故有√4-m=√m+2,解得m=1.答案:A4.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.圆C.焦点在y轴上的双曲线D.椭圆解析:原方程可变形为x2ba−y2ba=1,即y2-ba−x2-ba=1.可知它表示焦点在y轴上的双曲线.答案:C★5.与双曲线x216−y24=1共焦点,且过点(3√2,2)的双曲线的标准方程为()A.x28−y212=1B.−x28+y212=1C.−x212+y28=1D.x212−y28=11解析:由题意知,c2=16+4=20,设所求的双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),则a2+b2=20,且18a2−4b2=1,解得a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程为x212−y28=1.答案:D6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为.解析:令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解,即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,所以a=2,c=4,b2=c2-a2=16-4=12,且焦点在x轴上.故双曲线的标准方程为x24−y212=1.答案:x24−y212=17.已知F是双曲线x24−y212=1的左焦点,点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则∨PF∨+¿PA∨的最小值为.解析:设右焦点为F1,依题意,有|PF|=|PF1|+4,∴|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA|=|PF1|+|PA|+4≥|AF1|+4=5+4=9,当A,P,F1三点共线时取等号.答案:9★8.已知双曲线x24−y2=1的两个焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2¿π2,则△F1PF2的面积是.解析:不妨设P为双曲线左支上的点,F1为左焦点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,则{r2-r1=4,r12+r22=20,①②②-①2,得r1r2=2.所以S△F1PF2=12r1r2=1.答案:19.已知双曲线的焦点为F1(0,-6),F2(0,6),且经过点(2,-5),求该双曲线的标准方程.分析:由焦点坐标可知,焦点在y轴上,可设方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),又知c=6,再把点代入即可求得.解:设所求的双曲线方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),则有{25a2-4b2=1,a2+b2=62,解得{a=2√5,b=4.故所求的双曲线的标准方程为y220−x216=1.★10.已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.2分析:此题由于不知道焦点在哪个坐标轴上,所以应先分两种情况来讨论,再把两点代入.此题还可以先设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),再把两点代入求解.解法一当焦点在x轴上时,设所求的双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,所以{1a2-1b2=1,(-2)2a2-52b2=1,解得{a2=78,b2=7.当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),同理,有{1a2-1b2=1,52a2-(-2)2b2=1,解得{a2=-7,b2=-78,舍去.故所求的双曲线的标准方程为x278−y27=1.解法二设所求的双曲线的标准方程为Ax2+By2=1(AB<0).因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,代入上述方程有{A+B=1,4A+25B=1,解得{A=87,B=-17.故所求的双曲线的标准方程为x278−y27=1.34
