专题强化训练(二)解三角形(建议用时：60分钟)一、选择题1．在△ABC中，若B＝120°，则a2＋ac＋c2－b2的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．不确定C[∵B＝120°，∴cosB＝－＝，∴a2＋c2－b2＋ac＝0．]2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足＝，则A＝()A．B．C．D．或B[由＝，结合正弦定理，得＝，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝，由A为三角形的内角，知A＝．]3．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC等于()A．B．C．2D．A[由AB·BC＝1可得2BCcos(180°－B)＝1，即2BCcosB＝－1，又由余弦定理可得32＝BC2＋22－2×2BCcosB，把2BCcosB＝－1代入，得9＝BC2＋4＋2，解得BC＝．]4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若A＋C＝2B，a＝1，b＝，则S△ABC等于()A．B．C．D．2C[由A＋C＝2B，解得B＝．由余弦定理得()2＝1＋c2－2ccos，解得c＝2或c＝－1(舍去)．于是S△ABC＝acsinB＝×1×2sin＝．]5．在△ABC中，若tanAsin2B＝tanBsin2A成立，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形D[∵tanAsin2B＝tanBsin2A，∴sin2B＝·sin2A，∴sinBcosB＝sinAcosA，即sin2A＝sin2B．又∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝，即△ABC是等腰三角形或直角三角形．]二、填空题6．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝，则AC＝．[在△ABC中，利用正弦定理得＝⇒＝⇒AC＝·＝．]7．在等腰三角形ABC中，已知sinA∶sinB＝1∶2，底边BC＝10，则△ABC的周长是．150[由正弦定理知sinA∶sinB＝BC∶AC＝1∶2，故AC＝AB＝20，则△ABC的周长是10＋20＋20＝50．]8．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是．[∵a是最大边，∴A＞，又a2＜b2＋c2，由余弦定理cosA＝＞0，∴A＜，故＜A＜．]三、解答题9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC．(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c．[解](1)∵3(cosBcosC＋sinBsinC)－1＝6cosBcosC，∴3cosBcosC－3sinBsinC＝－1，∴3cos(B＋C)＝－1，∴cos(π－A)＝－，∴cosA＝．(2)由(1)得sinA＝，由面积公式bcsinA＝2，得bc＝6，①根据余弦定理，得cosA＝＝＝，则b2＋c2＝13，②①②两式联立可得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2．10．在△ABC中，已知sinB＝cosAsinC，AB·AC＝9，又△ABC的面积等于6．(1)求C；(2)求△ABC的三边之长．[解](1)设三角形的三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，∵sinB＝cosAsinC，∴cosA＝，由正弦定理，得cosA＝，又由余弦定理，得cosA＝，∴＝，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形且C＝90°．(2)②÷①得tanA＝＝，令a＝4k，b＝3k(k＞0)，则S△ABC＝ab＝6⇒k＝1，∴三边长分别为a＝4，b＝3，c＝5．1．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么角A，B，C的大小关系为()A．A>B>CB．B>A>CC．C>B>AD．C>A>BC[由正弦定理得＝，∴sinB＝，又∵B为锐角，∴B＝60°，∴C＝90°，即C>B>A．]2．若△ABC中，sinB·sinC＝cos2，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形2C[由sinB·sinC＝cos2可得2sinB·sinC＝2cos2＝1＋cosA，即2sinB·sinC＝1－cos(B＋C)＝1－cosBcosC＋sinBsinC，∴sinBsinC＋cosBcosC＝1，即cos(B－C)＝1，又－π0，b>0)，则最大角为．120°[>a，>b，设最大角为θ，则cosθ＝＝－，∴θ＝120°．]4．在△ABC中，已知AB·AC＝9，AB＝3，AC＝5，那么△ABC是三角形．直角[∵AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝15cosA＝9，∴cosA＝，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝32＋52－2×3×5×＝16，∴BC＝4，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC为直角三角形．]5．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5，(1)求AD；(2)若DC＝2，求BC．[解](1)在△ABD中，由余弦定理得AD2＋22－2×AD×2×cos45°＝52，整理得，AD2－2AD－21＝0，解得，AD＝＋(－舍去)．(2)由正弦定理得＝，由题设知，＝，所以sin∠ADB＝，又cos∠BDC＝sin∠ADB＝，在△BCD中，由余弦定理得，BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5．34
