高中数学 第三章 空间向量与立体几何本章小节 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

【金版学案】2015-2016学年高中数学第三章空间向量与立体几何本章小节新人教A版选修2-1选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．例1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①SA＋SB＋SC＋SD＝0；②SA＋SB－SC－SD＝0；③SA－SB＋SC－SD＝0；④SA·SB＝SC·SD；⑤SA·SC＝0，其中正确结论的序号是________．解析：容易推出：SA－SB＋SC－SD＝BA＋DC＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA·SB＝2·2·cos∠ASB，SC·SD＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA·SB＝SC·SD，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.答案：③④利用空间向量主要研究空间中的平行或垂直问题．(1)证明线面平行问题可以有以下三种方法：①利用线线平行证明线面平行．②向量p与两个不共线的向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p＝xa＋yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题．③设n为平面α的法向量，a为直线l的方向向量，要证明l∥α，只需证明a·n＝0.(2)证明线面垂直的常用方法有：1①设a为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，则a＝λn(λ为非零实数)⇔a与n共线⇔l⊥α.②l是交线a，b所在平面α外的直线，a，b不共线，l，a，b分别为直线l，a，b的方向向量，则有l·a＝0且l·b＝0⇔l⊥a且l⊥b⇔l⊥α.例2如图，在矩形ABCD中AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.(1)求证：AQ∥平面CEP；(2)求证：平面AEQ⊥平面DEP.证明：(1) EP⊥矩形ABCD所在的平面，且P、Q均为AB，DC的中点，∴PQ⊥AB，故以P为坐标原点，以PA，PQ，PE分别为x轴，y轴，z轴建系如右图．令AB＝2，PE＝a，则A(1，0，0)，Q(0，1，0)，E(0，0，a)，C(－1，1，0)． AQ＝(－1，1，0)，PC＝(－1，1，0)，∴AQ＝PC，∴AQ∥PC，∴AQ∥PC. AQ⊄平面EPC，PC⊂平面EPC，∴AQ∥平面EPC.2(2) D(1，1，0)，E(0，0，a)，∴PD＝(1，1，0)，PE＝(0，0，a)，∴AQ·PD＝(－1，1，0)·(1，1，0)＝－1＋1＝0，AQ·PE＝(－1，1，0)·(0，0，a)＝0.∴AQ⊥PD，AQ⊥PE，即AQ⊥PD，AQ⊥PE，又PD∩PE＝P，∴AQ⊥平面EPD，AQ⊂平面AEQ，∴平面AEQ⊥平面DEP.例3如图所示，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：a＝；a＝1；a＝2；a＝；a＝4.若在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则a可以取所给数据中的哪些值？并说明理由．分析：建立空间直角坐标系，由PQ⊥QD得PQ·QD＝0，再将该等式表示为坐标形式，利用方程思想求解．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)．设Q(a，x，0)(BQ＝x，0≤x≤2)，于是PQ＝(a，x，－2)，QD＝(－a，2－x，0)．由PQ⊥QD得PQ·QD＝－a2＋x(2－x)－2×0＝0，即x2－2x＋a2＝0，此方程有解，Δ≥0，所以0