高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法自主训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

4.1数学归纳法自主广场我夯基我达标1.(经典回放)设f(n)=nnnn21312111(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于（）A.121nB.221nC.121n+221nD.121n-221n思路解析：因为f(n)=2111nn+…+n21,所以f(n+1)=221121213121nnnnn.所以f(n+1)-f(n)=22212111221121nnnnn答案：D2.(经典回放)设f(n)=1+21+31+…+131n(n∈N+),则f(n+1)-f(n)等于（）A.231nB.13131nnC.231131nnD.23113131nnn思路解析：因为f(n)=1+21+31+…+131n.所以f(n+1)=1+21+31+…+131n+23113131nnn.所以f(n+1)-f(n)=23113131nnn.答案：D3.用数学归纳法证明：（n+1）(n+2)…（n+n）=2n×1×3…(2n-1)时，从“k到k+1”左边需增乘的代数式是（）A.2k+1B.112kkC.2(2k+1)D.122kk思路解析：当n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k+1)=(k+1)·(k+2)·(k+3)…(k+k)·1)22)(12(kkk=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)·2(2k+1).答案：C4.用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=aan112(a≠1,n∈N+)”在验证n=1成立时，左边计1算所得的结果是（）A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3思路解析：观察等式左边，当n=1时，最末项为a2,故1+a+a2是正确的.答案：C5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应该写成（）A.假设当n=k(k∈N+)时，xk+yk能被x+y整除B.假设当n=2k(k∈N+)时，xk+yk能被x+y整除C.假设当n=2k+1(k∈N+)时，xk+yk能被x+y整除D.假设当n=2k-1(k∈N+)时，xk+yk能被x+y整除思路解析：第k个奇数应是n=2k-1，所以第k+1个奇数应是n=2k+1，且n=1时，命题成立.答案：D6.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（）A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立思路解析：多边形至少是3边.答案：C7.如果命题P（n）对n=k时成立，则它对n=k+2也成立，又若P（n）对n=2成立，则下列结论正确的是…（）A.P（n）对所有正整数n成立B.P（n）对所有正偶数n成立C.P（n）对所有正奇数n成立D.P（n）对所有大于1的正整数n成立思路解析：由n=2成立，推出n=4成立，再推出n=6成立…….答案：B8.等式12+22+32+…+n2=21(5n2-7n+4)()A.n为任何正整数时都成立B.仅当n=1,2,3时成立C.当n=4时成立，n=5时不成立D.仅当n=4时不成立思路解析：分别用n=1，2，3，4，5验证即可.答案：B9.某学生在证明等差数列前n项和公式时，证法如下：（1）当n=1时，S1=a1显然成立.（2）假设n=k时，公式成立，即Sk=ka1+2)1(dkk，当n=k+1时，Sk+1=a1+a2+…+ak+ak+1=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+a1+(k-1)d+a1+kd=(k+1)a1+(d+2d+…+kd)2=(k+1)a1+2)1(kkd=(k+1)a1+2]1)1)[(1(kkd.∴n=k+1时公式成立.∴由（1）（2）可知对n∈N+,公式成立.以上证明错误的是（）A.当n取第一个值1时，证明不对B.归纳假设写法不对C.从n=k到n=k+1的推理中未用归纳假设D.从n=k到n=k+1的推理有错误思路解析：在第（2）步证明中，归纳假设未用到.答案：C我综合我发展10.某个命题与正整数有关，若当n=k(k∈N+)时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）A.当n=6时，该命题不成立B.当n=6时，该命题成立C.当n=4时，该命题成立D.当n=4时，该命题不成立思路解析：利用等价命题，原命题的真假等价于逆否命题的真假，若n=k+1时命题不成立，则n=k时命题不成立，所以n=4时命题不成立.答案：D11.上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想正确的是（）A.f(n)=nB.f(n)=f(n)+f(n-2)C.f(n)=f(n)·f(n-2)D.f(n)=n(n=1,2)，f(n-1)+f(n-2)(n≥3).思路解析：分别取n=1,2,3，4验证.答案：D12.用数学归纳法证明：32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.思路解析：(1)当n=1时，34-8×1-9=64,能被64整除，命题成立.(2)假设当n=k时，命题成立，即32k+2-8k-9能被64整除.则当n=k+1时,32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64k+64.因为32k+2-8k-9能被64整除，所以32(k+1)+2-8(k+1)-9能被64整除.即当n=k+1时，命题也成立.由（1）（2）可知，对任何n∈N+,命题都成立.13.用数学归纳法证明：tanα·tan2α+tan2α·...