课时跟踪检测（五十三）抛物线一、题点全面练1．(2019·张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝()A．9B．8C．7D．6解析：选B抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB.x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：选D(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故抛物线方程为y2＝－x或x2＝－8y.3．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()A．y2＝－12xB.y2＝－8xC．y2＝－6xD．y2＝－4x解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.4．(2019·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为()A.B.C.D．1解析：选B设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝(|BB′|＋|AA′|)＝(|BF|＋|AF|)＝|AB|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角是120°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角是30°，斜率是.故选B.5．(2018·合肥模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.B.C.D.解析：选D设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2,0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，连接OB，由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，∴点B为线段AP的中点，则|OB|＝|AF|，∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1， k＞0，∴点B的坐标为(1,2)，∴k＝＝.故选D.6．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx＝30°.直线OA的方程y＝x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐标为(6,2)．∴|AB|＝4，正三角形OAB的面积为×4×6＝12.答案：127．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则|AF|＝xA＋1＝3，所以xA＝2，yA＝2，所以直线AB的斜率为k＝＝2.则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝，所以xB＝，所以|BF|＝＋1＝.答案：8．(2019·贵阳模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，则p＝________.解析：过点A，B向抛物线的准线x＝－作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线，垂足为E， A，B两点在抛物线上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|. BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|， 直线AB的倾斜角为60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|，即2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|. |AF|＝2，∴|BF|＝，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝.设直线AB的方程为y＝，代入y2＝2px，得3x2－5px＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝p， |AB|＝x1＋x2＋p＝，∴p＝1.答案：19．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝2，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而该抛...
