高二数学2016年联赛初赛模拟训练（3）班级：姓名：一．填空题（每小题7分，共70分）1.已知正整数数列满足，．若，则=.2.函数的值域为____________.3.在△中，，，则△的最大角的余弦值为______．4．在直角坐标平面内，曲线围成的图形的面积是_______5．若恒成立，则的取值范围是________________6.去掉集合中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为___________7．在四面体中，，，面，则四面体的外接球的半径为____________.8.三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的概率为____________.9.若且，则称为集合的孤立元素.那么，集合1，2，3，4，5，6，7，8，9的无孤立元素的4元子集有个.10.共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则的最大值为____________.1二、解答题(每小题20分，共80分)11.当时，不等式恒成立，试求的最大值．12.已知函数，（1）求函数的最值；（2）如果函数在上恰有2014个零点，求的取值范围.213.设是双曲线上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线交双曲线于两点．（1）确定的取值范围；（2）试判断四点是否共圆？并说明理由．314.在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：，．高二强化班2016年联赛初赛模拟训练（3）参考答案1.3.2..3.．4．5．.6.2068.7．.48..9.21个.10..11.解法1令.（1）先考虑时的情况，①若，即，则由题意知，即，整理得.设，，其中，，则.设，且，则，等号成立的条件是：，，，即，.……10分②若，即，则由得，所以，从而可得，此时；5③若，即，则；……15分（2）当时，由得，故.综合可知：的最大值为2．………20分解法二特殊值法.在不等式中取特殊值，得．…………………10分当且仅当时，．所以，的最大值为2．……20分12.解（1）因为，所以是以为周期的函数，故只需考虑在上的最大值.①当时，令，则，，易知在区间上单调递减，所以，的最大值为，最小值为.②当时，令，则，，易知在区间上单调递增，所以，的最大值为，最小值为综合可知：函数的最大值为，最小值为.…10分（2）因为是以为周期的函数，可以先研究函数在上的零点个数，易知.当时，令＝0，解得或1.在上6无解，在上仅有一解.当时，令，解得或1.在上无解，在上也无解.综合可知：函数在上有两个零点，分别为和.又因为是以为周期的函数，所以，若，则在上恰有个零点.又已知函数在上恰有2014个零点，所以.…………………20分13.（1）依题意，可设直线的方程为，代入双曲线方程并整理得①设，则是方程①的两个不同实根，于是可知②且．又是线段的中点，故，解得，故直线的方程为，即．将代入②，得，解得．又是线段的垂直平分线，故所在直线的方程是，即，将其代入双曲线方程，整理得③7由题意，方程③也有两个不同实根，所以，解得．又，于是可得：的取值范围为．…………………10分（2）设，线段的中点为，则是方程③的两根，所以，，于是，．于是，由弦长公式可得.又方程①即，同理可得.显然，又是线段的垂直平分线，假设存在使得四点共圆，则必为该圆的直径，点为圆心．又点到直线的距离为，由勾股定理得．又，所以．故当时，四点均在以为圆心、为半径的圆上．…………………20分14.在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．8（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：，．解（1）因为数列为单调递增数列，，所以（）.由题意得，，于是，化简得，所以数列为等差数列.又，，所以数列的首项为，公差为，所以，从而.结合可得.因此，当为偶数时，当为奇数时.所以数列的通项公式为.…………………10分（2）因为，所以，，9所以，．…………………210
