§8.3直线、平面平行的判定与性质基础篇固本夯基【基础集训】考点一直线与平面平行的判定与性质1.在如图所示的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱B1B、AD的中点,则直线BF与平面AD1E的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.异面答案A2.如图,三棱锥P-ABC中,点C在以AB为直径的圆O上,平面PAC⊥平面ACB,点D在线段AB上,且BD=2AD,CP=CA=3,PA=2,BC=4,点G为△PBC的重心,点Q为PA的中点.(1)求证:DG∥平面PAC;(2)求点C到平面QBA的距离.解析(1)证明:连接BG并延长交PC于E,连接AE, G是△PBC的重心,∴BG=2EG,又BD=2AD,∴DG∥AE,又DG⊄平面PAC,AE⊂平面PAC,∴DG∥平面PAC.(2)连接CQ, 点C在以AB为直径的圆O上,∴AC⊥BC,又平面PAC⊥平面ACB,平面PAC∩平面ACB=AC,∴BC⊥平面PAC, CP=CA=3,PA=2,∴CQ⊥PA,CQ=√AC2-AQ2=2√2,∴VB-PAC=13S△PAC·BC=13×12×2×2√2×4=8√23,又PB=√PC2+BC2=5,AB=√AC2+BC2=5,∴PB=AB,∴PA⊥BQ,∴BQ=√AB2-AQ2=2√6,∴S△PAB=12PA·BQ=2√6,设C到平面PAB的距离为d,则VC-PAB=13S△PAB·d=2√63d,1 2√63d=8√23,∴d=4√33.∴点C到平面QBA的距离为4√33.考点二平面与平面平行的判定与性质3.已知a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β∥α,这样的β()A.恰能作一个B.至多能作一个C.至少能作一个D.不存在答案B4.已知m,n,l1,l2表示不同直线,α、β表示不同平面,若m⊂α,n⊂α,l1⊂β,l2⊂β,l1∩l2=M,则α∥β的一个充分条件是()A.m∥β且l1∥αB.m∥β且n∥βC.m∥β且n∥l2D.m∥l1且n∥l2答案D5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,当点Q时,平面D1BQ∥平面PAO()A.与C重合B.与C1重合C.为CC1的三等分点D.为CC1的中点答案D6.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:平面EFA1∥平面BCHG.证明 E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC. EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1∥AB且A1B1=AB,∴A1G∥EB且A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB. A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又 A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.综合篇知能转换【综合集训】考法一直线与平面、平面与平面平行的证明方法1.(2018甘肃嘉峪关一中三模,5)平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如图,则BC与α的位置关系是()A.异面B.相交C.平行或相交D.平行答案D2.(2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.2(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB,所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF,因为FB⊂平面BDEF,所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I.连接GI,HI.在△CEF中,因为G是CE的中点,I是FC的中点,所以GI∥EF.又EF∥DB,所以GI∥DB.在△CFB中,因为H是FB的中点,I是FC的中点,所以HI∥BC.又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.3.(2020届山东新高考质量测评联盟10月联考,21)如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是矩形,△SAD是等边三角形,平面SAD⊥平面ABCD,AB=1,E为棱SA上一点,P为AD的中点,四棱锥S-ABCD的体积为2√33.(1)若E为棱SA的中点,F是棱SB的中点,求证:平面PEF∥平面SCD;3(2)是否存在点E,使得平面PEB与平面SAD所成的锐二面角的余弦值为√3010?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:因为E,F分别是SA,SB的中点,所以EF∥AB,在矩形ABCD中,AB∥CD,所以EF∥CD,又因为E,P分别是SA、AD的中点,所以EP∥SD,又因为EF∥CD,EF∩EP=E,SD∩CD=D,EF,EP⊂平面PEF,SD,CD⊂平面SCD,所以平面PEF∥平面SCD.(2)假设棱SA上存在点E满足题意.在等边三角形SAD中,P为AD的中点,所以SP⊥AD,因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SP⊂平面SAD,所以SP⊥平面ABCD,所以SP是四棱锥S-ABCD的高,设AD=m,m>0,则SP=√32m,S矩形ABCD=m,所以VS-ABCD=13S矩形ABCD·SP=13m·√32m=2√33.所以m=2,以P为坐标原点,PA所在直线为x轴,过点P与AB平行的直线为y轴,PS所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则...
