考点规范练19两角和与差的正弦、余弦与正切公式基础巩固组1.计算cos42°cos18°-cos48°sin18°的结果等于()A.12B.√33C.√22D.√32答案A解析原式=sin48°cos18°-cos48°sin18°=sin(48°-18°)=sin30°=12.2.已知sinα=√55,则sin4α-cos4α的值为()A.-15B.-35C.15D.35答案B解析因为sinα=√55,所以sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)·(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α=-cos2α=2sin2α-1=-35.3.(2018全国1)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=23,则|a-b|=()A.15B.√55C.2√55D.1答案B解析 cos2α=2cos2α-1=23,∴cos2α=56,sin2α=16,∴tan2α=15,即tanα=±√55.由于a,b的正负性相同,不妨设tanα>0,即tanα=√55,由三角函数定义得a=√55,b=2√55,故|a-b|=√55.故选B.4.已知α为锐角,且7sinα=2cos2α,则sin(α+π3)=()1A.1+3√58B.1+5√38C.1-3√58D.1-5√38答案A解析由7sinα=2cos2α得7sinα=2(1-2sin2α),即4sin2α+7sinα-2=0,∴sinα=-2(舍去)或sinα=14. α为锐角,∴cosα=√154,∴sin(α+π3)=14×12+√154×√32=1+3√58,故选A.5.已知0<α<π2,cosα+π6=-45,则sin(-α)=()A.3√3+410B.-3√3+410C.-3√3-410D.3√3-410答案B解析 0<α<π2,∴π6<α+π6<23π,又cosα+π6=-45,∴sinα+π6=35.sin(-α)=-sinα=-sinα+π6-π6=-[sin(α+π6)cosπ6-cos(α+π6)sinπ6]=-35×√32--45×12=-3√3+410.故选B.6.(2017课标Ⅱ高考)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.答案√5解析f(x)≤√22+1=√5.7.(2018全国2)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.答案-12解析由题意sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,得(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=sin2α+cos2β+2sinαcosβ+cos2α+sin2β+2cosαsinβ=2+2sin(α+β).则2+2sin(α+β)=1,即sin(α+β)=-12.8.若sin(π+x)+cos(π+x)=12,则sin2x=,1+tanxsinxcos(x-π4)=.2答案-34-8√23解析sin(π+x)+cos(π+x)=-sinx-cosx=12,即sinx+cosx=-12,两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=14,即1+sin2x=14,则sin2x=-34,由1+tanxsinxcos(x-π4)=1+sinxcosx√22sinx(cosx+sinx)=√2sinxcosx=2√2sin2x=2√2-34=-8√23,故答案为-34,-8√23.能力提升组9.若sin2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则α+β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案A解析因为α∈[π4,π],故2α∈[π2,2π],又sin2α=√55,故2α∈[π2,π],α∈[π4,π2],∴cos2α=-2√55.β∈[π,3π2],故β-α∈[π2,5π4],于是cos(β-α)=-3√1010,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-2√55×(-3√1010)−√55×√1010=√22,且α+β∈[5π4,2π],故α+β=7π4.10.将函数f(x)=sin(3π2+x)(cosx-2sinx)+sin2x的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)具有性质()A.在(0,π4)上单调递增,为奇函数B.周期为π,图象关于(π4,0)对称C.最大值为√2,图象关于直线x=π2对称3D.在(-π2,0)上单调递增,为偶函数答案A解析 f(x)=sin(3π2+x)(cosx-2sinx)+sin2x=-cos2x+sin2x+sin2x=sin2x-cos2x=√2sin(2x-π4),g(x)=√2sin[2(x+π8)-π4]=√2sin2x,∴g(x)为奇函数,且在(0,π4)上是增函数.故选A.11.设f(x)=1+cos2x+sin2x√2sin(π2+x)+asin(x+π4)的最大值为3,则常数a=()A.1B.1或-5C.-2或4D.±√7答案B解析f(x)=2cos2x+2sinxcosx√2cosx+asin(x+π4)=√2cosx+√2sinx+asin(x+π4)=2sinx+π4+asin(x+π4)=(a+2)sinx+π4,则|a+2|=3,∴a=1或a=-5.故选B.12.已知函数f(x)=asinx+bcosx(a≠0)在x=π4处取得最小值,则函数f(3π4-x)是()A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称B.偶函数且它的图象关于点(3π2,0)对称C.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称D.奇函数且它的图象关于点(3π2,0)对称答案C解析函数f(x)=asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+θ)(a≠0)的周期为2π,在x=π4处取得最小值,故有√22(a+b)=-√a2+b2,即有b=a,∴f(x)=√2asin(x+π4).则f(3π4-x)=√2asin(π-x)=√2asinx.则函数y=f(3π4-x)为奇函数,对称中心为(kπ,0),k∈Z,故选C.13.已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx-12(ω>0,x...
