第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量基本定理及坐标表示真题演练文1．(2013·辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.B.C.D.解析：AB＝(3，－4)，|AB|＝5.与AB同方向的单位向量为＝，故选A.答案：A2．(2012·安徽卷)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量OP绕点O按逆时针方向旋转后得向量OQ，则点Q的坐标是()A．(－7，－)B．(－7，)C．(－4，－2)D．(－4，2)解析：由题意，得|OP|＝10，由三角函数定义，设P点坐标为(10cosθ，10sinθ)，则cosθ＝，sinθ＝，则Q点的坐标应为.由三角知识得10cos＝－7.10sin＝－.∴Q(－7，－)．故选A.答案：A3．(2014·福建卷)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)解析：方法1：若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，因为≠，所以e1，e2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a＝(3,2)表示出来，故选B.方法2：因为a＝(3,2)，若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以解得所以a＝2e1＋e2，故选B.答案：B4．(2014·北京卷)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.解析：利用共线向量求参数值．∵λa＋b＝0，∴λa＝－b.∴|λa|＝|－b|＝|b|＝＝.∴|λ|·|a|＝，又|a|＝1，∴|λ|＝.答案：5．(2012·重庆卷)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．10解析：由⇒⇒∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．∴|a＋b|＝，故选B.答案：B6．(2013·重庆卷)在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是()A.B.C.D.解析：以A为原点，AB1所在直线为x轴建立直角坐标系．如图所示．设B1(a,0)，B2(0，b)，O(m，n)，则由已知得P(a，b)，由|OB1|＝|OB2|＝1，|OP|<，得(m－a)2＋n2＝1，m2＋(n－b)2＝1，(m－a)2＋(n－b)2<，即－2am＋a2＝1－(m2＋n2)，①－2nb＋b2＝1－(m2＋n2)，②m2＋n2－2am－2bn＋a2＋b2<，③将①②代入③中，得m2＋n2＋1－(m2＋n2)＋1－(m2＋n2)<，即有m2＋n2>，>.又|OB1|＝|OB2|＝1，相当于以O为圆心，1为半径的圆与x轴，y轴有交点，即有|m|≤1，|n|≤1，即m2＋n2≤2，≤，故有|OA|＝∈，选D.答案：D
