考点规范练46椭圆基础巩固组1.(2017浙江高考)椭圆x29+y24=1的离心率是()A.√133B.√53C.23D.59答案B解析e=√9-43=√53,故选B.2.设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则点P到椭圆左焦点的距离为()A.4B.3C.2D.5答案A解析由题意知|OM|=12|PF2|=3,所以|PF2|=6,|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.3.已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为√22,则实数m等于()A.2B.2或83C.2或6D.2或8答案D解析显然m>0,且m≠4,当04时,椭圆长轴在y轴上,则√14-1m√14=√22,解得m=8.4.设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为()A.√33B.√36C.13D.16答案A解析设PF1的中点为M,连接PF2.1因为O为F1F2的中点,所以OM为PF2的中位线.所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|=√|PF1|2-|PF2|2=√3|PF2|,由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=3|PF2|2,2c=|F1F2|=√3|PF2|⇒c=√3|PF2|2,则e=ca=√3|PF2|2·23|PF2|=√33.故选A.5.(2018浙江衢州二调)设椭圆x216+y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且满足⃗PF1·⃗PF2=9,则|PF1|·|PF2|的值为()A.8B.10C.12D.15答案D解析由椭圆方程x216+y212=1,可得c2=4,所以|F1F2|=2c=4.因为⃗F1F2=⃗PF2−⃗PF1,所以|⃗F1F2|=|⃗PF2−⃗PF1|,两边同时平方,得|⃗F1F2|2=|⃗PF1|2-2⃗PF1·⃗PF2+|⃗PF2|2,所以|⃗PF1|2+|⃗PF2|2=|F1F2|2+2⃗PF1·⃗PF2=16+18=34,根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=8,(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=64,所以34+2|PF1|·|PF2|=64.所以|PF1|·|PF2|=15.故选D.6.如图,∠OFB=π6,△ABF的面积为2-√3,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为.2答案x28+y22=1解析设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题意可知,|OF|=c,|OB|=b,∴|BF|=a. ∠OFB=π6,∴bc=√33,a=2b.∴S△ABF=12·|AF|·|BO|=12(a-c)·b=12(2b-√3b)b=2-√3,解得b2=2,则a=2b=2√2.∴所求椭圆的方程为x28+y22=1.7.(2018浙江重点中学联考)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-√2,0),且四边形ABCD的面积为163,则椭圆C1的离心率e为.答案√22解析联立{x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1,两式相减得x2-y2a2=x2-y2b2,因为a≠b,所以x2=y2=a2b2a2+b2.所以四边形ABCD为正方形,4a2b2a2+b2=163,(*)又由题意知a2=b2+2,将其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,则a2=4.所以椭圆C的离心率e=√22.8.设P为椭圆x24+y23=1上一点,F为椭圆的右焦点,A(2,2),则|PA|-|PF|的最小值为.答案√13-4解析设椭圆的左焦点为F'(-1,0),则|PA|-|PF|=|PA|-(2a-|PF'|)=|PA|+|PF'|-2a≥|AF'|-2a=√13-4,当且仅当A,P,F'三点共线时等号成立,且P在A,F'之间时达到,故|PA|-|PF|的最小值为√13-4.能力提升组9.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)左焦点F,且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,向量⃗OA+⃗OB与向量a=(3,-1)共线,则该椭圆的离心率为()3A.√33B.√63C.√34D.√23答案B解析设椭圆的左焦点为F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则⃗OA+⃗OB=(x1+x2,y1+y2),直线AB的方程为y=x+c,代入椭圆方程并整理得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.由韦达定理得x1+x2=-2a2ca2+b2,所以y1+y2=x1+x2+2c=2b2ca2+b2.根据⃗OA+⃗OB与a=(3,-1)共线,得x1+x2+3(y1+y2)=0,即-2a2ca2+b2+3×2b2ca2+b2=0,解得b2a2=13,所以e=√1-b2a2=√63,故选B.10.已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P,过点P向x轴作垂线,垂足为H,若|PH|=a2,则此椭圆的离心率为()A.√5-12B.√32C.√17-14D.2√2-2答案C解析 F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P,过点P向x轴作垂线,垂足为H,|PH|=a2,∴x2a2+a24b2=1,解得x2=4a2b2-a44b2,∴c2=4a2b2-a44b2+a2b24b2=5a2b2-a44b2,∴4c2(a2-c2)=5a2(a2-c2)-a4,∴4a2c2-4c4=4a4-5a2c2,∴4e2-4e4=4-5e2,∴4e4-9e2+4=0, 0
