第2课时余弦定理A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(A)A．1B．2C．3D．4[解析]设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a＝3，c＝，∠C＝120°，由余弦定理，得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.2．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶，则此三角形的三个内角的度数分别是(C)A．45°，45°，90°B．30°，60°，90°C．30°，30°，120°D．30°，45°，105°[解析] 在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，∴a∶b∶c＝1∶1∶.设a＝b＝k，c＝k(k＞0)，则cosC＝＝－.故C＝120°，A＝B＝30°，应选C．3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(D)A．B．C．D．[解析]设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，由余弦定理得cosA＝＝，故选D．4．(2018·全国卷Ⅱ理，6)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(A)A．4B．C．D．2[解析]cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cosC，所以AB2＝1＋25－2×1×5×＝32，所以AB＝4.5．在△ABC中，若a
a>b，知角C为最大角，则cosC＝＝－，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°.8．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝，c＝1＋，且a2＝b2＋c2－2bcsinA，则边a＝__2__.[解析]由已知及余弦定理，得sinA＝＝cosA，∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bccos45°＝4，a＝2.三、解答题9．(2019·北京卷理，15)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．[解析](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，解得c＝5，所以b＝7.(2)由cosB＝－得sinB＝.由正弦定理得sinC＝sinB＝.在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角，所以cosC＝＝.所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.10．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a、c的值；(2)求sin(A－B)的值．[解析](1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∴b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝，∴ac＝9.由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中， cosB＝，∴sinB＝＝.由正弦定理，得sinA＝＝， a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝＝.∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.B级素养提升一、选择题1．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则AB·AC等于(D)A．－B．－C．D．[解析] AB·AC＝|AB|·|AC|·cos〈AB，AC〉，2由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB|＝3，|AC|＝2，cos〈AB，AC〉＝＝.故AB·AC＝3×2×＝.2．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(B)A．B．C．D．3[解析]如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4. cosA＝＝，∴sinA＝.故BD＝AB·sinA＝3×＝.3．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为(B)A．B．C．D．[解析] p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝＝＝， 0
