高中数学 第一章 计数原理 3 组合知识导航 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学试题VIP免费

§3组合自主整理1.一般地，从n个不同的元素中，_______________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，我们把有关求_______________问题叫作组合问题.2.我们把_______________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_______________表示.3.一般地，考虑C与A的关系：把“从n个不同的元素中选出m（m≤n）个元素进行排列”这件事，分两步进行：第一步：从n个不同元素中取出m个元素，一共有_______________种取法.第二步：_______________一共有A种排法.根据____________原理，我们得到“从n个不同元素中选出m（m≤n）个元素进行排列”一共有____________种排法.即有A=____________.4.C=____________=____________=____________，规定:C=____________.5.组合数的性质：性质1：____________________________________________________________.性质2：____________________________________________________________.高手笔记1.使用组合数公式时，要注意C中m为非负整数，n∈N+，m≤n等限制条件.2.排列与组合的定义中相同的语句是“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素”.定义中不同的语句是:排列的定义中“按着一定的顺序排成一列”；组合的定义中“并成一组”.3.排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同点就是前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”.因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.如，从A、B、C三个元素中，任意取出两个元素的所有排列为：AB，BA，AC，CA，BC，CB；所有组合为：AB，AC，BC.在排列的意义下，AB与BA、AC与CA、BC与CB不同，而在组合的意义下，AB与BA、AC与CA、BC与CB相同.4.公式A=C·A表明从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的排列数的计算可分为两步：求C；再对取出的m个元素进行全排列.因此，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的一个组合，是相应的所有排列中的1个.如从A、B、C中取出A、B的排列为AB、BA，组合AB（或BA）是其中的1个.5.公式C=其形式上的特点是：分子是连续m个自然数之积，最大的数为n，最小的数是（n-m+1）;分母是m！.名师解惑1.如何区别组合与组合数？剖析：“组合数”与“一个组合”是两个不同的概念，“一个组合”是指“从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的形式；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数.如，从A、B、C中任取1两个元素的所有组合为：AB、AC、BC，它是具体的形式“AB、AC、BC”；而其组合数是具体的数，AB、AC、BC都算作1，1+1+1=3，即C=3.2.如何理解组合数的两个性质?剖析：（1）对C=C的理解：这个性质可以由组合数的定义给出，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，也就是说，从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应于从n个不同元素中取n-m个元素的唯一的一个组合，反过来也如此，因此有C=C.（2）对C的理解：把n+1个元素分为不含某元素a和含某元素a两类.不含a这一类，从n+1个元素中取m个元素的组合，相当于从n个元素中取m个元素的组合，组合数为C；含a的这一类，a必被取出，从n+1个元素中取m个元素的组合，相当于从其余的n个元素中取m-1个元素的组合，组合数为C.根据加法原理，有C=C+C.3.解答组合问题时的解题策略是什么？剖析：解答组合应用题的总体思路为：（1）整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理.（2）局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理.（3）考察顺序，区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题.（4）辩证地看待“元素”与“位置”.排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定.有时“元素选位置”，问题解决得简...