课时分层训练(五十)曲线与方程A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是()A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线D[原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．]2．(2017·台州模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0D[由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.]3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2D[如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.又 |PA|＝1，∴|PM|＝＝，则|PM|2＝2，∴点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.]4．(2017·洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是()【导学号：51062304】A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)A[设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由BP＝2PA，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由OQ·AB＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．]5．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线A[设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)． OC＝λ1OA＋λ2OB，∴又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．]1二、填空题6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程是__________．y2＝8x[AB＝－(－2，y)＝，BC＝(x，y)－＝. AB⊥BC，∴AB·BC＝0，∴·＝0，即y2＝8x.∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.]7．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是__________.【导学号：51062305】x2＝12y[由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.]8．(2017·浙江名校联考)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同于A1，A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为__________．＋y2＝1(x≠0且x≠±)[由题设知|x1|>，A1(－，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y＝(x＋)，①直线A2Q的方程为y＝(x－)，②联立①②，解得∴③∴x≠0，且|x|<. 点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，∴－y＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为＋y2＝1(x≠0，且x≠±)．]三、解答题9．如图883所示，动圆C1：x2＋y2＝t2,1
