4.9热点专题——三角函数与解三角形的热点问题1．(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝＋.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．【解析】(1)证明由题意知2＝＋，化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.从而sinA＋sinB＝2sinC.由正弦定理得a＋b＝2c.(2)由(1)知c＝，所以cosC＝＝＝－≥，当且仅当a＝b时，等号成立．故cosC的最小值为.2．(2016·邵阳模拟)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，已知B＝，BC＝1.(1)若△ABC是锐角三角形，DC＝，求角A的大小；(2)若△BCD的面积为，求边AB的长．【解析】(1)在△BCD中，B＝，BC＝1，DC＝，由正弦定理得，＝，解得sin∠BDC＝＝，则∠BDC＝或.由△ABC是锐角三角形，可得∠BDC＝.又由DA＝DC，得A＝.(2)由于B＝，BC＝1，△BCD的面积为，则·BC·BD·sin＝，解得BD＝.由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos＝1＋－2××＝，故CD＝，则AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝，故边AB的长为.3．(2016·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＋＝，且b＝，a＞c.(1)求ac的值；(2)若△ABC的面积S＝，求a，c的值．【解析】(1)因为＋＝＝＝，所以＝，即sin2B＝sinAsinC.由正弦定理可得b2＝ac，又b＝，所以ac＝2.(2)S＝acsinB＝sinB＝，又ac＝2且a＞c，所以a2＞ac＝2，即a＞，又b＝，所以A＞B，故角B一定为锐角，因此cosB＝＝.由余弦定理可知cosB＝＝，所以a2＋c2＝5，由ac＝2且a＞c，解得a＝2，c＝1.4．(2016·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin2B＝bsinA.(1)求B；(2)若cosA＝，求sinC的值．【解析】(1)在△ABC中，由＝，可得asinB＝bsinA，又由asin2B＝bsinA，得2asinBcosB＝bsinA＝asinB，所以cosB＝，得B＝.(2)由cosA＝，可得sinA＝，则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin＝sinA＋cosA＝.5．(2016·淄博模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin＝2cosA.(1)若cosC＝，求证：2a－3c＝0；(2)若B∈，且cos(A－B)＝，求sinB的值．【解析】由sin＝2cosA，得sinA＋cosA＝2cosA，即sinA＝cosA.因为A∈(0，π)，且cosA≠0，所以tanA＝，所以A＝.(1)证明因为sin2C＋cos2C＝1，cosC＝，C∈(0，π)，所以sinC＝，由正弦定理知＝，即＝＝＝，即2a－3c＝0.(2)因为B∈，所以A－B＝－B∈，因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，所以sin(A－B)＝，所以sinB＝sin[A－(A－B)]＝sinAcos(A－B)－cosAsin(A－B)＝.6．(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.【解析】(1)证明根据正弦定理，可设＝＝＝k(k＞0)．则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入＋＝中，有＋＝，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC.(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cosA＝＝.所以sinA＝＝.由(1)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinB＝cosB＋sinB，故tanB＝＝4.
