考点规范练49直线与圆锥曲线基础巩固组1.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则点P的轨迹方程是()A.y2=2xB.(x-1)2+y2=4C.y2=-2xD.(x-1)2+y2=2答案D解析如图,设P(x,y),圆心为M(1,0),连接MA,则MA⊥PA,且|MA|=1,又 |PA|=1,∴|PM|=√|MA|2+|PA|2=√2,即|PM|2=2.∴点P的轨迹方程为(x-1)2+y2=2.2.若斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.4√55C.4√105D.8√105答案C解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由{x2+4y2=4,y=x+t,消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5.于是|AB|=√1+k2|x1-x2|=√1+k2·√(x1+x2)2-4x1x2=√2·√(-85t)2-4×4(t2-1)5=4√25·√5-t2,当t=0时,|AB|max=4√105.13.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为√32,则ab的值为()A.√32B.2√33C.9√32D.2√327答案A解析设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点M(x0,y0).由题设kOM=y0x0=√32.由{ax12+by12=1,ax22+by22=1,得(y2+y1)(y2-y1)(x2+x1)(x2-x1)=-ab.又y2-y1x2-x1=-1,y2+y1x2+x1=2y02x0=√32,所以ab=√32.4.若过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且直线l的倾斜角θ≥π4,点A在x轴上方,则|FA|的取值范围是()A.(14,1]B.(14,+∞)C.(12,+∞)D.(14,1+√22]答案D解析记点A的横坐标是x1,则有|AF|=x1+14=(14+|AF|cosθ)+14=12+|AF|cosθ,|AF|(1-cosθ)=12,|AF|=12(1-cosθ).由π4≤θ<π,得-198}解析(1)若a=0,则y=2x与y=x为相交直线,显然y=2x上存在两点到y=x的距离等于√2,符合题意;(2)若a>0,则y=ax2-2x与直线y=x相交,∴y=ax2-2x在直线y=x上方的图象必有两点到直线y=x的距离等于√2,又直线y=x与y=x-2的距离为√2,∴抛物线y=ax2-2x与直线y=x-2不相交,3联立方程组{y=ax2-2x,y=x-2,消元得ax2-3x+2=0,∴Δ=9-8a<0,解得a>98.(3)若a<0,同理可得a<-98.故答案为{a|a<-98或a=0或a>98}.能力提升组9.已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆x212+y216=1上,且满足|⃗AP|-|⃗BP|=2,则⃗AP·⃗BP为()A.-12B.12C.-9D.9答案D解析由|⃗AP|-|⃗BP|=2,可得点P(x,y)的轨迹是以两定点A,B为焦点的双曲线的上支,且2a=2,c=2,∴b=√3.∴点P的轨迹方程为y2-x23=1(y≥1).由{x212+y216=1,y2-x23=1,解得{x2=9,y2=4,∴⃗AP·⃗BP=(x,y+2)·(x,y-2)=x2+y2-4=9+4-4=9.10.已知A,B,C是抛物线y2=4x上不同的三点,且AB∥y轴,∠ACB=90°,点C在AB边上的射影为D,则|AD|·|BD|=()A.16B.8C.4D.2答案A解析设A(4t2,4t),B(4t2,-4t),C(4m2,4m),则⃗CA=(4t2-4m2,4t-4m),⃗CB=(4t2-4m2,-4t-4m),由条件⃗CA·⃗CB=0,即16(t2-m2)2-16(t2-m2)=0, t2-m2≠0,4∴t2-m2=1,∴在Rt△ABC中,|AD|·|BD|=|CD|2=[4(t2-m2)]2=16,故选A.11.已知抛物线C:y2=2px与点N(-2,2),过C的焦点且斜率为2的直...
