10.4直线与圆锥曲线的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线与圆锥曲线的位置关系1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想.3.能解决直线与圆锥曲线的位置关系等问题.2018浙江,17,21直线与椭圆、抛物线的位置关系向量、三角形面积★★★2017浙江,21直线与抛物线的位置关系不等式、最值2016浙江文,19直线与抛物线的位置关系斜率2015浙江,19直线与抛物线的位置关系三角形面积、最值2014浙江文,22直线与抛物线的位置关系向量、三角形面积分析解读1.直线与圆锥曲线的位置关系是高考的常考内容,常以解答题的形式呈现,试题具有一定的难度.2.直线与圆锥曲线的位置关系综合性较强,要注重与一元二次方程中的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合.3.预计2020年高考中,仍将以直线与圆锥曲线的位置关系等问题为重点进行考查.破考点【考点集训】考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,8)设从点P(a,b)分别向椭圆+y2=1与双曲线x2-=1作两条切线PA,PB和PC,PD,切点分别为A,B和C,D,若AB⊥CD,则=()A.±4B.1C.4D.±1答案D2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,16)过点P(-1,1)向抛物线y2=4x作切线PA,PB,切点分别为A,B,过焦点F分别向PA,PB作垂线,垂足分别为C,D,则△FCD的面积是.1答案炼技法【方法集训】方法圆锥曲线中弦长的求法1.(2018浙江金华十校模拟(4月),21,15分)已知抛物线y2=x和圆C:(x+1)2+y2=1,过抛物线上的一点P(x0,y0)(y0≥1),作圆C的两条切线,与y轴分别交于A,B两点.(1)若切线PB过抛物线的焦点,求切线PB的斜率;(2)求△ABP面积的最小值.解析(1)由题意得抛物线的焦点坐标为F,设切线PB的斜率为k,则切线PB的方程为y=k,即kx-y-k=0.∴=1,解得k=±. P(x0,y0)(y0≥1),∴k=.(2)设切线方程为y=kx+m(k≠0),由点P在直线上得,k=①,圆心C到切线的距离为=1,整理得m2-2km-1=0②.将①代入②得,(x0+2)m2-2y0m-x0=0③.设方程的两个根分别为m1,m2,由根与系数的关系得,m1+m2=,m1m2=-,2从而|AB|=|m1-m2|==2,S△ABP=|AB|x0=x0=(x0≥1).记函数g(x)=(x≥1),则g'(x)=>0,∴g(x)min=g(1)=,∴S△ABP的最小值为.2.(2018浙江五校联考(5月),21)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l与椭圆切于点P,OQ⊥l,垂足为Q,其中O为坐标原点.求△OPQ面积的最大值.解析(1)由题意得椭圆C的离心率为,则a2=4c2,∴b2=3c2,∴椭圆C的方程为+=1, 2c=2,即c=1,∴椭圆C的方程为+=1.(6分)(2)设直线l:y=kx+m(k≠0),则根据题意,得OQ:y=-x(k≠0),联立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,由Δ=0得3+4k2=m2,3解得xP==,(9分)联立解得xQ=,∴|PQ|=,∴S△OPQ==··=·≤·=,当且仅当|k|=1时取等号.(12分)综上,=.(15分)过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018课标全国Ⅰ理,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=()A.5B.6C.7D.8答案D2.(2017课标全国Ⅰ理,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案A43.(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.答案4.(2018课标全国Ⅰ文,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=+=.①将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)===0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.方法总结直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略:(1)求直线方程.先寻...
