2.1从平面向量到空间向量一、选择题1．下列说法中正确的是()A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小[答案]D[解析]任意两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A、B不正确；向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确；由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．2．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么与直线AM垂直的向量有()A．CNB．BCC．CC1D．B1C1[答案]D[解析]由于所求的是向量，所以首先排除B，在剩下的三个选项中，通过正方体的图形可知D项正确．3．空间中，起点相同的所有单位向量的终点构成的图形是()A．圆B．球C．正方形D．球面[答案]D[解析]根据模的概念知终点在以起点为球心，半径为1的球面上．4．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、A1C1是()A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量[答案]C[解析]先画出平行六面体的图像，可看出向量D1A、D1C在平面ACD1上，由于向量A1C1平行于AC，所以向量A1C1经过平移可以移到平面ACD1上，因此向量D1A、D1C、A1C1为共面向量．5．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°.在所有棱所在的向量中，平面BB1C1C的法向量有()A．0个B．2个C．3个D．4个[答案]D[解析]由于三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱且∠ACB＝90°，所以A1C1⊥平面BB1C1C，AC⊥平面BB1C1C，所以平面BB1C1C的法向量是：AC，CA，A1C1，C1A1，共4个．6．已知正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则向量AG的模为()A．6B．9C．4D．5[答案]A[解析]GC⊥平面ABCD，所以GC⊥AC．在Rt△GAC中，AC＝4，GC＝2，所以AG＝＝6，即|AG|＝6.二、填空题7．下列有关平面法向量的说法中，正确的是________________(填写相应序号)．①平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量；②一个平面的所有法向量互相平行；③如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直；④如果a，b与平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．[答案]①②③[解析]当a与b共线时，n就不一定是平面α的法向量，故④错误．8．在长方体中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1,2,3，在以长方体的两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量有________________个．[答案]8[解析]研究长方体模型可知，棱长为1的棱有4条，故模为1的向量有8个．三、解答题9．如图，在棱长为1的正三棱柱ABC—A1B1C1中：(1)以正三棱柱的两个顶点为始点和终点的向量中，举出与向量AB相等的向量；(2)以正三棱柱的两个顶点为始点和终点的向量中，举出向量AC的相反向量；(3)若E是BB1的中点，举出与向量AE平行的向量．[解析](1)由正三棱柱的结构特征知与AB相等的向量只有向量A1B1.(2)向量AC的相反向量为CA、C1A1.(3)取AA1的中点F，连结B1F，则B1F、FB1、EA都是与AE平行的向量．10．如图，正方体ABCD—EHGF，写出平面ABCD所有的法向量，并求〈DA，DC〉、〈DA，DF〉．[解析]平面ABCD所有的法向量有DF、CG、BH、AE、FD、GC、HB、EA.由于正方体的三条棱DA、DC、DF互相垂直，所以〈DA，DC〉＝90°，〈DA，DF〉＝90°.一、选择题1．对于空间向量，有以下命题：①单位向量的模为1，但方向不确定；②如果一个向量和它的相反向量相等，那么该向量的模为0；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④若ABCD－A′B′C′D′为平行六面体，则AB＝D′C′.其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]③中当b＝0时，结论不成立，其它3个命题都是真命题，故选C．2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，与向量A′B′的模相等的向量至少有()A．7个B．3个C．5个D．6个[答案]A3．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有()A．8个B．7个C．6个D．5个[答案]A[解析]与向量AB平行的向量就是直线AB的方向向量，有AB、BA、A1B1、B1A1、C1D1、D1C1、CD、DC，共8个，所以选A．4.AB＝CD的一个必要不充分条件是()A．A与C重合B．A与C重合，B与D重合C．|AB|＝|CD|D．A、B、C、D四点共线[答案]C[解析]向量相...
